Nel caso di una fondazione superficiale poggiante su un terreno, è necessario verificare che nel terreno non si verifichino fenomeni di rottura. Tali fenomeni da cui è necessario prendere le distanze sono essenzialmente tre:

• rottura generale: nel terreno si formano delle superfici di scorrimento che hanno origine ai bordi della fondazione e proseguono fino in superficie; si tratta di un collasso di tipo fragile;
• rottura per punzonamento: la fondazione affonda nel terreno, ma non si formano superfici di scorrimento all'interno dello stesso; è un tipo di rottura che si verifica in presenza di terreni fortemente compressibili;
• rottura locale: è un fneomeno di rottura intermedio tra i due precedente; si formano superfici di scorrimento che partono dai bordi della fondazioni ma non arrivano fino in superficie.

Quando il processo di carico avviene tanto lentamente da garantire l'assenza di sovrapressioni neutre dovute all'acqua, l'analisi viene svolta in termini di tensioni efficaci (analisi in condizioni drenate). Sotto tali ipotesi il carico limite rispetto al fenomeno di rottura generale può essere valutato con la seguente formula

$$ q_{lim} = \frac{1}{2} \gamma^\prime \, B^\prime \, N_{\gamma} \, i_{\gamma} \, s_{\gamma} \, b_{\gamma} \, d_{\gamma} \, g_{\gamma} + c^\prime \, N_{c} \, i_{c} \, s_{c} \, b_{c} \, d_{c} \, g_{c} + q^\prime \, N_{q} \, i_{q} \, s_{q} \, b_{q} \, d_{q} \, g_{q} $$

detta di Brinch-Hansen. Tale formula va applicata a fondazioni superciali rettangolari di dimensioni $B x L$ soggette ad un carico verticale $V$. Grazie all'introduzione dei coefficienti $i_{\gamma}$, $i_{c}$ e $i_{q}$ riusciamo ad applicare la suddetta formula anche al caso in cui sia presente un carico trasversale di componenti $H_B$ (componente lungo $B$) e $H_L$ (componente lungo $L$). Nel caso in cui sia presente anche un momento esterno scomponibile nelle sue due componenti lungo $B$ ($M_B$) ed $L$ ($M_L$), riusciamo comunque ad applicare la suddetta formula ricorrendo all'artificio di considerare valori di $B^\prime$ ed $L^\prime$ ridotti

$$B^\prime = B - 2 \, e_B = B - 2 \frac{M_B}{N}$$

$$L^\prime = L - 2 \, e_L = L - 2 \frac{M_L}{N}$$

$$N_{\gamma} = 2 \, (N_{q} + 1) \tan{\phi^\prime}$$

$$N_{c} = \frac{N_{q} - 1}{\tan{\phi^\prime}}$$

$$N_{q} = \frac{1+ \sin \phi^\prime}{1 - \sin \phi^\prime} e^{\pi \tan \phi^\prime}$$

(Prandtl, 1921 – Vesic 1970)

Nel caso di fondazioni aventi lunghezza finita, ad esempio plinti,

$$i_{\gamma} = \left( 1 - \frac{|H|}{N + B^\prime L^\prime c^\prime \tan \phi^\prime} \right)^{m+1}$$

$$i_{q} = \left( 1 - \frac{|H|}{N + B^\prime \; L^\prime \; c^\prime \; \tan \phi^\prime} \right)^m$$

$$i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i_{q}}{N_{c} \tan \phi^\prime}$$

in cui

$$m = \frac{2+\frac{B^\prime}{L^\prime}}{1+\frac{B^\prime}{L^\prime}}$$

$$| H | = \sqrt{{H_B}^2 + {H_L}^2}$$

(Vesic, 1973)

Che nel caso di fondazione di lunghezza infinita (e.g. verifica di muri controterra ) diventano

$$ i_{\gamma} = \left( 1 - \frac{H}{N} \right)^{3}$$

$$ i_{q} = \left( 1 - \frac{H}{N} \right)^{2}$$

$$i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i_{q}}{N_{c} \tan \phi^\prime}$$

In alternativa sono disponibil in letteratura, sempre nel caso di fondazione infinita, le seguenti formule, molto più cautelative

$$ i_{\gamma} = \left( 1 - \frac{\alpha}{\phi^\prime} \right)^2$$

$$ i_{c} = i_{q} = \left( 1 - \frac{2 \, \alpha}{\pi} \right)^2$$

in cui

$$ \alpha = \arctan \left( \frac{H}{V}\right)$$

(Meyerhof — Vesic, 1975)

$$s_{\gamma} = s_{q} = 1 + 0,1 \frac{1 + \sin \phi^\prime}{1-\sin \phi^\prime} \frac{B^\prime}{L^\prime}$$

$$s_{c} = 1 + 0,2 \frac{1+\sin \phi^\prime}{1-sin \phi^\prime} \frac{B^\prime}{L^\prime}$$

(Meyerhof, 1951)

$$d_{\gamma} = 1$$

$$\begin{array}{l r} d_{q} = 1 + 2 \tan \phi^\prime (1 - \sin \phi^\prime)^2 \frac{D}{B^\prime} & se \; D \le B^\prime \\\\ d_{q} = 1 + 2 \tan \phi^\prime (1 - \sin \phi^\prime)^2 \arctan(\frac{D}{B^\prime})& se \; D > B^\prime \end{array}$$

$$d_{c} = d_q - \frac{1-d_q}{N_c \tan \phi^\prime}$$

(Brinch-Hansen, 1970 – Vesic, 1973)

Supponendo che la fondazione sia inclinata rispetto all'orizzontale di un angolo $\alpha$, i coefficienti di inclinazione della base della fondazione sono dati da

$$b_{q} = b_{\gamma} = (1 - \alpha \tan \phi^\prime)^2$$

$$b_{c} = b_{q} - \frac{1 - b_{q}}{N_c \; \tan \phi^\prime}$$

(Brinch-Hansen, 1970)

Supponendo che il piano di campagna sia inclinato rispetto all'orizzontale di un angolo $\omega$, i coefficienti di inclinazione del piano campagna sono dati da

$$g_{\gamma} = g_{q} = (1 - \tan \omega)^2$$

$$g_{c} = g_{q} - \frac{1 - g_{q}}{N_c \tan \phi^\prime}$$

(Brinch-Hansen, 1970)

Sulla scorta di quanto sopra riportato, nel caso in cui il processo di carico avvenga velocemente, in maniera tale da non realizzare l'azzeramento delle sovrapressioni neutre, la formula di Brinch-Hansen diventa

$$q_{lim} = c_{u} \; N_{c}^{\circ} \; i_{c}^{\circ} \; s_{c}^{\circ} \; b_{c}^{\circ} \; d_{c}^{\circ} \; g_{c}^{\circ} + t_{g}^{\circ} + q$$

$$B^\prime = B - 2 e_B = L - 2 \frac{M_B}{N}$$

$$L^\prime = L - 2 e_L = L - 2 \frac{M_L}{N}$$

Per fondazioni nastriformi

$$N_{c}^{\circ} = 2 + \pi \approx 5,14$$

Per fondazioni circolari invece

$$N_{c}^{\circ} = 6,14$$

$$i_{c}^{\circ} = 1 - \frac{m |H|}{B^\prime L^\prime c_{u} N_{c}}$$

in cui

$$m = \frac{2+\frac{B^\prime}{L^\prime}}{1+\frac{B^\prime}{L^\prime}}$$

$$|H| = \sqrt{H_B^2 + H_L^2}$$

$$s_{c}^{\circ} = 1 + 0,2 \frac{B^\prime}{L^\prime}$$

$$\begin{matrix} d_{c}^{\circ} = 1 + 0,4 \frac{D}{B^\prime} & se \; D \le B^\prime \\\\ d_{c}^{\circ} = 1 + 0,4 \arctan \left( \frac{D}{B^\prime} \right) & se \; D > B^\prime \end{matrix}$$

Indicando con $\alpha$ l'inclinazione della base della fondazione

$$b_{c}^{\circ} = 1 - \frac{2 \alpha}{\pi + 2}$$

Indicando con $\omega$ l'inclinazione del piano di campagna

$$g_{c}^{\circ} = 1 - \frac{2 \, \omega}{\pi + 2}$$

e

$$t_{g}^{\circ} = \frac{1}{2} \gamma \, B^\prime N_{\gamma}^{\circ} s_{\gamma}^{\circ}$$

in cui

$$N_{\gamma}^{\circ} = - 2 \sin \omega$$

$$s_{\gamma}^{\circ} = 1 - 0,4 \frac{B^\prime}{L^\prime}$$