Allo scopo di garantire la salvaguardia dell’aspetto e della funzionalità dell’opera, le frecce a lungo termine di travi e solai, calcolate sotto la condizione quasi permanente dei carichi, non devono superare il limite di 1/250 della luce.
Per garantire invece l'integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate, le frecce di travi e solai successive alla costruzione di questi, calcolate anche in questo caso sotto la condizione quasi permanente dei carichi, non devono superare il limite di 1/500 della luce. Tale limite si applica al caso di pareti divisorie in muratura; per altre tipologie di pareti si dovranno valutare limiti di inflessione ammissibili diversi.
Lo stato limite di deformazione può essere verificato:
Supponiamo di voler calcolare il parametro deformativo $\alpha$: cedimento in mezzeria della trave piuttosto che rotazione su un appoggio.
Calcoliamo tale grandezza con la formula
$$\alpha = \zeta \; \alpha_{II} + \left( 1 - \zeta \right) \alpha_{I} $$
in cui:
Nel caso di sezione non fessurata, $\zeta$ è uguale a 0. Nel caso di sezione completamente fessurata, $\zeta$ è uguale a 1. nei casi intermedi calcoliamo $\zeta$ con la formula
$$\zeta = 1 - \beta \left( \frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}} \right)^2 $$
in cui:
Nel caso di carichi di lunga durata, dovendo tener conto dell'effetto del fluage, per valutare la deformabilità dle calcestruzzo useremo il modulo elastico effettivo
$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi \left( \infty, t_0 \right) } $$
$$ \left( \frac{l}{d} \right)_{lim} = \begin{cases} K \cdot \left(11 + 1,5 \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot \frac{\rho_0}{\rho} + 3,2 \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot \left( \frac{\rho_0}{\rho} - 1 \right) ^{\frac{3}{2}} \right) & \rho \le \rho_0 \\\\ K \cdot \left( 11 + 1,5 \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot \frac{\rho_0}{\rho - \rho'} + \frac{1}{12} \sqrt{ f_{ck} \cdot \frac{\rho'}{\rho_0} } \right) & \rho > \rho_0 \end{cases} $$
in cui:
Sistema strutturale | $K$ |
---|---|
Travi semplicemente appoggiate, piastre semplicemente appoggiate mono o bidirezionali | 1,0 |
Campata terminale di travi continue o piastre continue monodirezionali o piastre bidirezionali continue su un lato lungo | 1,3 |
Campata intermedia di travi o di piastre mono o bidirezionali | 1,5 |
Piastre sorrette da pilastri senza travi (piastre non nervate) (in base alla luce maggiore) | 1,2 |
Mensole | 0,4 |
L'espressione sopra riportata è stata ricavata assumendo una tensione nell'acciaio pai a 310 MPa con una tensione di snervamento di 500 MPa. Se i livelli tensionali sono diversi, i valori limite della suddetta formula vanno moltiplicati per il rapporto $310 / \sigma_s$. Quest'ultimo valore può essere prudenzialmente stimato mediante la relazione
$$\frac{310}{\sigma_s} = \frac{500 \cdot A_{s,prov} }{f_{yk} \cdot A_{s,req}} $$
Per sezioni a T in cui il rapporto tra la larghezza dell'ala e quella dell'anima è maggiore di 3, i suddetti valori vanno ridotti del 20%.
Per travi e piastre nervate con luce maggiore di $7 m$, il suddetto rapporto limite va moltiplicato per $7 m / l_{eff}$.
Per piastre senza nervature con luce maggiore di $8,5 m$, il suddetto repporto limite il rapporto limite va moltiplicato per $8,5 m / l_{eff}$.
Per rapporti di armatura $\rho$ ridotti, come quelli che si possono avere nei solai e in alcune piastre, il valore del rapporto limite calcolato con la formula riportata sopra potrebbe risultare eccessivo. Si consiglia a tal riguardo di non assumere valori della snellezza di riferimento maggiori di 36 (valore a cui andranno ancora applicati i coefficienti riduttivi/maggiorativi dovuti a luce, forma della sezione e tensioni effettive nell'acciaio).
Il rapporto limite fornito dalla circolare 619/2009 (formula C4.1.13) è tra la luce e l'altezza complessiva della sezione, secondo l'espressione
$$\left( \frac{l}{h} \right)_{lim} = K \left( 11 + \frac{0,0015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho'} \right) \cdot \frac{500 \cdot A_{s,prov}}{ f_{yk} \cdot A_{s,req}} $$
con analogo significato rispetto alla simbologia vista al paragrafo precedente.
Anche in questo caso, come visto in precedenza:
Calcoliamo la freccia massima di una trave supponendo di avere piena fessurazione su tutta la sua lunghezza
$$f \cong f_{II} = C \cdot \frac{M_{max} \cdot l^2}{E_c \cdot I_{\alpha,II}} $$
in cui:
Sotto le suddette ipotesi, supponiamo di avere armatura solo in zona tesa; la relativa tensione è data da
$$\sigma_s = \alpha \frac{M_{max}}{I_{n,II}} (d - x) \Rightarrow M_{max} = \sigma_s \frac{I_{\alpha,II}}{\alpha \cdot (d-x)} $$
Sostituendo nella prima
$$f_{II} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l^2}{E_s (d-x)} $$
Dividiamo primo e secondo membro per $l$
$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (d-x)} $$
e introduciamo la variabile $\xi = \frac{x}{d}$, arrivando a scrivere
$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (1-\xi) d} $$
Essendo in condizione di flessione semplice e supponendo di avere una sezione rettangolare, $\xi$ può essere calcolato imponendo l'annullamento del momento statico omogeneizzato secondo
$$\xi = - \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right)$$
in cui
$$\rho = \frac{A_s }{b \cdot d}$$
In definitiva arriviamo a scrivere
$$\frac{ l}{ d} = \frac{E_s}{C \cdot \sigma_s} \left[ 1 + \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right) \right] \frac{f_{II}}{l}$$
Imponendo i valori del rapporto ${f}/{l}$ e della tensione nell'armatura tesa, questa formula ci permette di verificare il valore dell'inflessione operando a favore di sicurezza.
Le normative ci propongono invece formule che forniscono valori apparentemente meno cautelativi in quanto tengono conto anche di due contributi positivi: