Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a

$$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$

in cui:

• $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico
• $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$
• $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$

Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439)

Effettueremo una prima analisi del fenomeno trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica. Successivamente faremo venire meno anche tale ipotesi.

Trascurando quindi l'influenza del taglio sulla linea elastica

$$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d} x}$$

$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$

che derivata due volte diventa

$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$

Nel caso di trave su suolo elastico, la $q(x)$ è pari ad un eventuale carico distribuito $q_0(x)$ cui si somma la reazione del terreno $-r(x)= - k'_s \, w(x)$, vale a dire

$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = q_0(x)$$

che, con la posizione

$$\alpha^4 = \frac{k'_s}{4 E J} $$

diventa

$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$

La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è ottenibile sommando all'integrale generale dell'omogenea associata un suo integrale particolare.

$$w(x) = w_0 (x) + w_p(x)$$

Possiamo verificare agevolmente che l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è pari a

$$w_0(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right)$$

Supponiamo $q_0(x)$ sia un polinomio al massimo del terzo ordine della variabile x

$$q_o (x) = a_0 + a_1 \, x + a_2 \, x^2 + a_3 \, x^3 $$

Osserviamo che di fatto l'ipotesi appena introdotta non è limitativa poiché copre ampiamente i casi di interesse pratico. Sotto tale ipotesi la derivata quarta dei carichi trasversali applicati è nulla

$$\frac{\mathrm{d}^4 q_0}{\mathrm{d}x^4} = 0 $$

In questo modo l'integrale particolare dell'equazione differenziale può essere assunto pari a

$$ w_p(x) = \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_0(x)$$

L'integrale generale cercato assume pertanto la forma

$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_0(x)$$

Determineremo le quattro costanti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$ imponendo le condizioni al contorno.

Si consideri una trave infinita soggetta ad azioni localizzate su un punto. Per $z \to \infty$, $w(x) = 0$. Per verificare questa condizione dovremo avere, conriferimento ai coefficienti della soluzione generale vista al paragrafo precedente, $C_3 = C_4 = 0$. La soluzione diventa quindi

$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right)$$

Derivando otteniamo

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = \alpha \, e^{- \alpha x} \left[ - \left( C_1 + C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 - C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$

$$ M(x) = - E \, I_{yy} \, \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^2 \, e^{- \alpha x} \left( C_2 \sin \alpha x - C_1 \cos \alpha x \right) $$

$$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \, e^{- \alpha x} \left[ \left( C_1 - C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 + C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$

Applichiamo un carico $P$ in $x = 0$.

La simmetria della configurazione strutturale ci permette di scrivere

$$\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d}x} (0) = 0$$

Sostituendo otteniamo

$$\alpha \left( C_1 - C_2 \right) = 0 \Longrightarrow C_1 = C_2 $$

Inoltre il taglio dovrà presentare in 0 una discontinuità pari a $P$. Sempre la simmetria della struttura ci permette di scrivere che

$$T (0^{+}) = - \frac{P}{2}$$

$$T (0^{-}) = \frac{P}{2}$$

Sostituendo i valori della prima nell'equazione di sopra abbiamo

$$- 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \left( C_1 + C_2 \right) = - \frac{P}{2} \Longrightarrow C_1 = C_2 = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} $$

I valori cercati sono

$$w(x) = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} e^{- \alpha x} \left( \sin \alpha x + \cos \alpha x \right)$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{4} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^2} \, e^{- \alpha x} \sin \alpha x $$

$$ M(x) = - \frac{1}{4} \frac{P}{\alpha} \, e^{- \alpha x} \left( \sin \alpha x - \cos \alpha x \right) $$

$$T(x) = - \frac{P}{2} e^{- \alpha x} \cos \alpha x $$

Calcoleremo ora l'equazione della linea elastica della trave su suolo elastico, considerando l'influenza del taglio. Poiché le trave di fondazione sono travi tozze, la seguente trattazione dovrebbe avere un significativo riscontro applicativo. Di fatto la maggior precisione del presente modello si perde nell'estrema variabilità della costante di sottofondo.

Dall'equilibrio a rotazione di un concio infinitesimo

$$m(x) + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} - T(x) = 0$$

che derivata una volta rispetto ad $x$ diventa

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = 0$$

Dall'equilibrio a traslazione dello stesso concio infinitesimo otteniamo

$$ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0 \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$

che, sostituita nella prima dà

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q(x) = 0$$

Sostituendo il valore del carico distribuito nell'ipotesi di suolo elastico

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$

Le ipotesi di De Saint Venant ci permettono di scrivere

$$M = E \, J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} $$

che sotituita nella precedente equazione ci dà

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + E \, J \frac{\mathrm{d}^3 \varphi}{\mathrm{d}x^3} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$

L'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, con la trattazione di Jourawsky, ci permette di scrivere la relazione

$$\varphi(x) = \frac{\chi}{G A} T - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}$$

Deriviamola una volta

$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$

Sostituendo l'espressione del carico distribuito, arriviamo a scrivere

$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \left( - q_0(x) + k_s' \, w \right) - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$

che, derivata due volte, diventa

$$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$

Sostituiamo il valore della derivata terza di $\varphi$ nella relazione scritta prima, ottenendo

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \chi \frac{E \, J }{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \chi \frac{E \, J }{G \, A} k_s' \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} - E \, J \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$

esprimibile anche nella forma

$$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - k_s' \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + \frac{k_s'}{E \, J} \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$

Sostituendo il valore di $\alpha$ visto ai paragrafi precedenti e introducendo il parametro $\beta$ così definito

$$\beta^4 = \frac{1}{4} k_s' \frac{\chi}{G \, A}$$

l'equazione diventa

$$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - 4 \beta^4 \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + 4 \alpha^4 \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$

Anche in questo caso l'integrale del'equazione sarà pari all'integrale generale dell'omogena associata più un integrale particolare.

Le soluzioni dell'omogenea associata sono sempre funzioni esponenziali del tipo

$$w_0 (x) = e^{p x} $$

con $p \in \mathbb{C}$

Si costruiscono le derivate successive della funzione e si sostituisce nell'equazione, ottenendo l'equazione caratteristica associata

$$p^4 - 4 \beta^4 \, p^2 + 4 \, \alpha^4 = 0$$

le cui radici sono

$$p_{1,2}^2 = \left( 2 \beta^4 \pm 2 i \sqrt{ \alpha^4 - \beta^8 } \right) $$

Tale teoria cade in difetto in alcuni punti:

• il terreno è un mezzo continuo, di conseguenza non si deforma solo all'interno dell'impronta di carico;
• il modulo di Winkler non è una grandezza fisica: è un artificio matematico che dipende dalla stato tensionale/deformativo oltre che dalla storia di carico;
• una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, sulla base della teoria appena vista, avrebbe una reazione vincolare speculare al carico, e, conseguentemente, sollecitazioni nulle.

Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per valutare l'interazione suolo-struttura per la sua semplicità. Modelli più complessi presuppongono indagini geotecniche articolate e costose che forniscono parametri comunque affetti da errori che spesso vanificano la maggiore complessità dell'analisi. Può essere allora preferibile utilizzare il modello su suolo elastico assumendo per la costante di sottofondo, piuttosto che un unico valore, un intervallo di variazione; conseguentemente otterremo un inviluppo delle sollecitazioni agenti.