Analizzeremo in questo paragrafo una trave piana le cui coordinate supponiamo definite con funzioni parametriche del tipo $x_g(t)$ e $y_g(t)$. Vedremo che è possibile individuare relazioni analoghe a quelle già viste per le travi rettilinee, anche se un po' più complesse.

Supponendo assolutamente generiche le due funzioni del parametro $x_g(t), y_g(t)$, la trave possiede una propria curvatura già nella configurazione indeformata, ottenibile tramite la formula

$$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{x_g' \, y_g'' - x_g'' \, y_g' }{ \left( {x_g'}^2 + {y_g'}^2 \right)^{3/2}}$$

Nella suddetta notazione assumiamo $\theta$ positivo se antiorario. Questo vuol dire che abbiamo assunto un sistema $xOy$ è sinistrorso o, in alternativa, qualora $xOy$ sia destrorso, è necessario introdurre il segno meno nella suddetta relazione.

Il sistema di riferimento rispetto a cui è definita la curva è scorrelato dal sistema di riferimento locale della sezione. Per passare da uno all'altro dovremo definire una matrice $\boldsymbol{N}(\theta)$ di modo che

$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{N} ( \theta(t) ) \left( \boldsymbol{x}_g - \boldsymbol{x_g} (t) \right) $$

in cui:

• $\boldsymbol{x}_g$ sono le coordinate del generico punto nel sistema globale
• $\boldsymbol{x}$ sono le coordinate nel sistema locale
• $\theta(t)$ è l'angolo formato dalla tangente alla curva in $t$ rispetto alla direzione individuata dall'asse $x$

Scienza Costruzioni:travi:trave-curvilinea01.svg

Gli spostamenti del generico punto della trave possono essere descritti nel sistema di riferimento globale o nel sistema di riferimento locale della sezione. Operativamente lavoreremo con funzioni spostamento definite nel sistema di riferimento locale assumendo come variabile indipendente l'ascissa curvilinea $s$.

Assumendo il principio di conservazione delle sezioni piane, in analogia a quanto già visto per la trave rettilinea (vedi Trave di Timoshenko), possiamo caratterizzare lo stato deformativo di ogni sezione mediante tre funzioni dell'ascissa curvilinea s:

• $u_0(s)$: spostamento del baricentro della sezione lungo la tangente all'asse della trave
• $w_0(s)$: spostamento del baricentro della sezione trasversalmente all'asse della trave
• $\varphi(s)$: rotazione della sezione

Tali funzioni però non ci permettono un agevole calcolo delle deformazioni poiché il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ introdotto nell'analisi dello stato di deformazione del solido deformabile è definito a partire da funzioni spostamento definite su sul medesimo sistema di riferimento.

Per calcolare il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ su ciascuna della facce che delimitano il concio di trave analizzato dovremo definire due funzioni $u(x)$ e $w(x)$ di modo che gli spostamenti delle due facce delimitanti il concio infinitesimo analizzato siano definiti nello stesso sistema di riferimento.

Scienza Costruzioni:travi:trave-curvilinea02.svg

Considerazioni di tipo trigonometrico ci permettono di scrivere

$$u \left(x+\mathrm{d}x \right) = u\left(s + \mathrm{d} s \right) \cos \mathrm{d}\theta + w\left(s + \mathrm{d} s \right) \sin \mathrm{d}\theta$$

A meno di infinitesimi di ordine superiore valgono le relazioni

$$u \left(s+\mathrm{d}s \right) \approx u \left(s \right) + \frac{\partial u}{\partial s} \mathrm{d}s$$

$$u \left(x+\mathrm{d}x \right) \approx u \left(x \right) + \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}x$$

Approssimiamo le funzioni seno e coseno con il loro sviluppo in serie fermato al primo ordine

$$\sin \left( \mathrm{d} \theta \right) \approx \mathrm{d} \theta$$

$$\cos \left( \mathrm{d} \theta \right) \approx 1$$

Introducendo la curvatura e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo otteniamo

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} w(s)$$

$$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial s} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} u(s)$$

L'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, sulla base delle ipotesi già introdotte, ci permette di scrivere (vedi Trave di Timoshenko)

$$u(s,z) = u_0(s) + \varphi(s) \; z$$

$$w(s,z) = w_0(s)$$

Applicando le relazioni viste prima abbiamo allora che

$$\varepsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial s} \left( u_0(s) + \varphi(s) \; z \right) + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} w_0 (s) = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}s} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}s} z + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} w_0 (s)$$

$$\gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} = \left[ \frac{\partial w}{\partial s} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \left( u_0(s) + \varphi(s) \, z \right) \right] + \frac{\partial}{\partial z}\left( u_0(s) + \varphi(s) \, z \right) = \frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}s} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} \left[ u_0 (s) + \varphi(s) \, z \right] + \varphi (s)$$

Ricapitolando

$$\varepsilon_{x} = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}s} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}s} z + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} w_0 (s)$$

$$\gamma_{xz} = \frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}s} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d} s} \left[ u_0 (s) + \varphi(s) \cdot z \right] + \varphi (s)$$

Supponiamo di lavorare con la variabile curvilinea $s$. Applicando le equazioni di equilibrio ad un concio infinitesimo di trave, possiamo scrivere le tre equazioni

$$p(s) + \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}s} + T(s) \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = 0$$

$$q(s) - N(s) \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} = 0$$

$$m(s) + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}s} - T(s) \, \rho \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = 0$$

Abbiamo così definito un sistema di tre equazioni differenziali lineari del primo ordine nelle tre funzioni incognite $N(s)$, $T(s)$, $M(s).

Dalla definizione di curvatura, con le convenzioni di segno adottate,

$$\mathrm{d}s = - \rho \, \mathrm{d}\theta $$

Le equazioni indefinite di equilibrio diventano

$$p(s) + \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}s} + \frac{T(s)}{\rho(s)} = 0$$

$$q(s) - \frac{N(s)}{\rho{s}} + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} = 0$$

$$m(s) + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}s} - T(s) = 0$$

Nel caso dell'arco circolare $\rho = R = cost$.

$$p(s) + \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}s} + \frac{T(s)}{R} = 0$$

$$q(s) - \frac{N(s)}{R} + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} = 0$$

$$m(s) + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}s} - T(s) = 0$$

Assumendo l'anomalia $\theta$ come variabile indipendente, osservando che $\mathrm{d} s = R \, \mathrm{d}\theta$, le equazioni indefinite di equilibrio diventano

$$p(\theta) \, R + \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\theta} + T \left( \theta \right) = 0$$

$$q(\theta) \, R - N \left( \theta \right) + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}\theta} = 0$$

$$m(\theta) \, R + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}\theta} - T(\theta) \, R = 0$$

Le equazioni di equilibrio

$$p(s) + \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}s} + \frac{T(s)}{\rho(s)} = 0$$

$$q(s) - \frac{N(s)}{\rho{s}} + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} = 0$$

$$m(s) + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}s} - T(s) = 0$$

possono essere sintetizzate nella forma

$$\boldsymbol{f}_0(s) = \boldsymbol{\partial}_{stat} \boldsymbol{f}$$

Per riferire le forze esterne globali al sistema di riferimento locale ci serviamo della matrice $\boldsymbol{N}$ che verifica la relazione

$$\boldsymbol{f}_0(s) = \boldsymbol{N} \boldsymbol{f}_{g,0} (s)$$

Per caratterizzare lo stato deformativo della generica sezione di ascissa $s$, scegliamo i tre parametri già visti per il caso piano:

• deformazione assiale

$$\varepsilon_0 = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}s} + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} w_0 (s) $$

• scorrimento angolare medio

$$\gamma_{m,xz} = \frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}s} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} u_0(s) + \varphi (s)$$

• curvatura

$$\chi_y = \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}s} $$

Tali relazioni sono sintetizzabili nella forma

$$\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\partial}_{cin} \boldsymbol{\eta}$$

Il legame tra il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ e il vettore $\boldsymbol{f}$ è espresso dalle relazioni

$$N = \varepsilon_0 \, E \, A$$

$$T_z = \gamma_{m,z} G \frac{A}{t}$$

$$M_y = \chi_y \, E \, I_{yy}$$

anche esprimibili come

$$\boldsymbol{f} = \boldsymbol{H} \boldsymbol{\varepsilon}$$

Sostituiamo a ritroso le relazioni e troviamo

$$\boldsymbol{N} \boldsymbol{f}_{g,0}(s) = \boldsymbol{\partial}_{stat} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\partial}_{cin} \boldsymbol{\eta}$$

Portando gli spostamenti nel sistema di riferimento globale

$$\boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{N} \boldsymbol{\eta}_g$$

otteniamo

$$\boldsymbol{N} \boldsymbol{f}_{g,0}(s) = \boldsymbol{\partial}_{stat} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\partial}_{cin} \boldsymbol{N} \boldsymbol{\eta}_g$$

che può essere riscritta come

$$\boldsymbol{f}_{g,0}(s) = \boldsymbol{N}^{T} \boldsymbol{\partial}_{stat} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\partial}_{cin} \boldsymbol{N} \boldsymbol{\eta}_g$$

che è quindi l'equazione fondamentale che descrive il nostro sistema cui sono da aggiungere le condizioni al contorno.