Torsione
Torsione di travi a sezione circolare
Supponiamo che la soluzione sia definita dal seguente campo di spostamenti
$$\mathbf{\eta} = \begin{Bmatrix} u \\\\ v \\\\ w \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ - \Theta_x \, x \, z \\\\ \Theta_x \, x \, y \end{Bmatrix}$$
Otteniamo di conseguenza il seguente campo deformativo
$$\mathbf{\epsilon} = \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\\\ \epsilon_y \\\\ \epsilon_z \\\\ \gamma_{xy} \\\\ \gamma_{xz} \\\\ \gamma_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ - \Theta_x \, z \\\\ \Theta_x \, y \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
Tale campo deformativo, per come è stato costruito, certamente rispetterà le equazioni di congruenza.
A sua volta associamo a questo campo deformativo il campo tensionale
$$\mathbf{\sigma} = \begin{Bmatrix} \sigma_x \\\\ \sigma_y \\\\ \sigma_z \\\\ \tau_{xy} \\\\ \tau_{xz} \\\\ \tau_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ - G \, \Theta_x \, z \\\\ G \, \Theta_x \, y \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
Si verifica facilmente che questo campo tensionale rispetta le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno statiche.
Se calcoliamo il modulo dello tensione tangeziale otteniamo
$$\tau_x = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2} = G \, \Theta_x \sqrt{z^2 + y^2} = G \, \Theta_x r$$
La tensione tangenziale in un punto del nostro solido è quindi proporzionale alla relativa distanza dal baricentro.
Integrando le tensioni agenti sulla seziona otteniamo
$$ \iint\limits_S (\tau_{xz} \, y - \tau_{xy} \, z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = M_{x}$$
da cui
$$ M_x = G\, \Theta_x \iint\limits_S ( y^2 + z^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = G\, \Theta_x \, I_x$$
in cui $I_x$ è il momento di inerzia polare della sezione. Possiamo così calcolare l'angolo di rotazione unitario $\Theta_x$
$$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, I_p}$$
Torsione di travi generiche
$$\boldsymbol{\eta} = \begin{Bmatrix} u \\\\ v \\\\ w \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \Theta_x \, \omega(y,z) \\\\ - \Theta_x \, x \, (z - z_c) \\\\ \Theta_x \, x \, (y - y_c) \end{Bmatrix}$$
$$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\\\ \epsilon_y \\\\ \epsilon_z \\\\ \gamma_{xy} \\\\ \gamma_{xz} \\\\ \gamma_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
$$\boldsymbol{\sigma} = \begin{Bmatrix} \sigma_x \\\\ \sigma_y \\\\ \sigma_z \\\\ \tau_{xy} \\\\ \tau_{xz} \\\\ \tau_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ G \, \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ G \, \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
L'applicazione dell'equazione indefinita di equilibrio
$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$
ci porta a scrivere
$$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$
Sulla superficie esterna del solido abbiamo tensioni nulle, quindi
$$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \sigma_x \, n_x + \tau_{xy} \, n_y + \tau_{xz} \, n_z = 0$$
Sostituendo otteniamo
$$ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y + (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, n_z = 0$$
L'equazione vista prima unita a quest'ultima condizione al contorno costituirebbero un problema differenziale che ammette soluzione (problema di Neumann), se non fosse per la presenza delle coordinate del centro di taglio, non ancora determinate.
Per definire anche $y_c$ e $z_c$ imponiamo $T_y = 0$ e $T_z = 0$, ottenendo
$$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xy} \, \mathrm{d}A = - G \, \Theta_x \iint \limits_\Sigma \left[ (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \, \mathrm{d}A = 0$$
$$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xz} \, \mathrm{d}A = G \, \Theta_x \iint \limits_\Sigma \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \, \mathrm{d}A = 0$$
Le coordinate del centro di taglio sono allora date da
$$z_c = - \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, \mathrm{d}A $$
$$y_c = \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, \mathrm{d}A $$
Applicando il teorema di Green
$$z_c = - \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s $$
$$y_c = \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s $$
Ricapitolando quanto fin qui ottenuto, riusciamo quindi a definire la funzione $\omega(y,z)$ risolvendo il problema differenziale costituito dall'equazione
$$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$
e dalla condizione al contorno, valida sul perimetro della sezione
$$ - \left( z + \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s \right) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y + \left( y- \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s \right ) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, n_z = 0$$
Nota $\omega(x,y)$, calcoliamo $y_c$ e $z_c$.
Torsione di travi a sezione sottile aperta
In generale possiamo scrivere l'espressione
$$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, I_T}$$
in cui abbiamo introdotto il momento di inerzia torsionale $I_T$.
Applicando la teoria vista al paragrafo precedente, per profili sottili il momento di inerzia torsionale vale
$$I_T = \frac{1}{3} \sum \limits_i b_i t_i^3 $$
Nel caso di spessore costante $t_i = t$, la tensione tangenziale massima è pari a
$$\tau_{max} = \frac{M_x \, t}{I_T} = \frac{3 \, M_x}{t^2 \, \sum \limits_i b_i}$$
Torsione di travi a sezione sottile chiusa
Prima di analizzare direttamente l'oggetto del paragrafo, abbiamo bisogno di derivare alcune osservazioni da una delle euqazioni indefinite di equilibrio
$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + f_x = 0$$
Poiché $\sigma_x = 0$ e $f_x = 0$,
$$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$
Applicando il teorema di Green, con la posizione $\mathbf{\tau} = \left( \tau_{xy}, \tau_{xz} \right) $
$$ \int \limits_{\Sigma} \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \oint \limits_{\Lambda} \mathbf{\tau} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}s = 0$$
in cui $\Sigma$ è l'area delimitata da una linea chiusa $\Lambda$ interna alla sezione. Risulta quindi nullo il flusso di $\mathbf{\tau}$ attraverso una qualunque linea chiusa $\Lambda$.
Considerando una sezione sottile chiusa, isoliamo un tratto di sezione compreso tra le corde 1 e 2. La nullità del flusso di $\mathbf{\tau}$ ci permette di scrivere
$$- \bar{\tau}_1 \, t_1 = \bar{\tau}_2 \, t_2 $$
L'arbitrarietà adottata nella scelta dei tratti ci permette di affermare che il prodotto $\tau \, t$ è costante lungo tutta la sezione.
Integriamo le tensioni tangenziali di modo da determinare il momento torcente risultante rispetto ad un punto arbitrario O
$$M_x = \oint \tau \, t \, r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s = \left( \tau \, t \right)_{const} \oint r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s = \left( \tau \, t \right)_{const} \, 2 \, \Omega_m$$
in cui $\Omega_m$ è l'area descritta dalla mediana della sezione sottile.
Nel caso di sezioni sottili di forma chiusa e spessore costante $t$, la tensione tangenziale è pari a
$$\tau = \frac{M_x}{2 \Omega_m \, t}$$
Per calcolare la rigidezza torsionale della sezione applichiamo il principio dei lavori virtuali uguagliando il lavoro virtuale interno a quello esterno
$$M_x \, \Theta_x = \iint \limits_\Sigma \tau \, \gamma \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_\Sigma \frac{1}{G} \frac{M_x}{4 \, \Omega_m^2 \, t_0^2} \; \mathrm{d}s \mathrm{d}t = \frac{M_x}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda \frac{1}{t_0^2} \left( \int \limits_{-t_0 / 2}^{t_0 / 2} \; \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}s = \frac{M_x}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda \frac{1}{t_0} \mathrm{d}s $$
da cui
$$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda \frac{1}{t_0} \mathrm{d}s $$
Nel caso di sezione sottile chiusa con spessore costante $t$, la formula si semplifica diventando
$$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G} \frac{\Lambda}{t \, \Omega_m^2 } $$
in cui $\Lambda$ è la lunghezza della mediana della sezione.
