scienza_costruzioni:teorema_di_reciprocita
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Linea 5: | Linea 5: | ||
Dati due diverse deformazioni di un corpo **elastico** relative a due divesi sistemi di forze, il lavoro virtuale che le forze del primo sistema compiono rispetto agli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione nel secondo sistema, è uguale al lavoro virtuale delle forze del secondo sistema rispetto agli spostamenti nel primo. | Dati due diverse deformazioni di un corpo **elastico** relative a due divesi sistemi di forze, il lavoro virtuale che le forze del primo sistema compiono rispetto agli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione nel secondo sistema, è uguale al lavoro virtuale delle forze del secondo sistema rispetto agli spostamenti nel primo. | ||
- | Per dimostrare il suddetto teorema, | + | Per dimostrare il suddetto teorema, |
- | $$ L_{tot} = L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(a)+(b)}$$ | + | Applichiamo il sistema |
+ | |||
+ | $$ L^{(a)+(b)} = L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(ab)}$$ | ||
+ | |||
+ | in cui: | ||
+ | * $L^{(a)}$ è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(a)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(a)$ | ||
+ | * $L^{(b)}$ è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(b)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(b)$ | ||
+ | * $L^{(ab)}$ è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(a)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(b)$ | ||
Supponendo invece di applicare prima il sistema $(b)$ e poi il sistema $(a)$ | Supponendo invece di applicare prima il sistema $(b)$ e poi il sistema $(a)$ | ||
- | $$ L_{tot} = L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(b)+(a)}$$ | + | $$ L^{(b)+(a)} = L^{(b)} + L^{(a)} + L^{(ba)}$$ |
+ | |||
+ | in cui abbiamo introdotto il termine | ||
- | // | + | // |
- | $$ L^{(a)+(b)} = L^{(b)+(a)}$$ | + | $$ L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(a)\rightarrow(b)} = L^{(b)} + L^{(a)} + L^{(ba)} \Longrightarrow L^{(ab)} = L^{(ba)}$$ |
- | D' | + | Ricordiamo che i potenziali |
- | $$ L^{(a)+(b)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{el} \, \mathrm{d}V$$ | + | $$ L^{(ab)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{el} \, \mathrm{d}V$$ |
- | $$ L^{(b)+(a)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{el} \, \mathrm{d}V$$ | + | $$ L^{(ba)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{el} \, \mathrm{d}V$$ |
- | Applichiamo | + | Proseguiamo applicando |
$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$ | $$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$ | ||
Linea 33: | Linea 42: | ||
* $\gamma^{(b)}_i$ sono i cedimenti vincolari del sistema b | * $\gamma^{(b)}_i$ sono i cedimenti vincolari del sistema b | ||
- | Invertendo i due sistemi abbiamo | + | Assumendo |
- | $$ \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i | + | $$ \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$ |
con ovvio significato di simboli. | con ovvio significato di simboli. |
scienza_costruzioni/teorema_di_reciprocita.1354472167.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)