====== Teorema di reciprocità ======

===== Teorema di reciprocità =====

Dati due diverse deformazioni di un corpo **elastico** relative a due divesi sistemi di forze, il lavoro virtuale che le forze del primo sistema compiono rispetto agli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione nel secondo sistema, è uguale al lavoro virtuale delle forze del secondo sistema rispetto agli spostamenti nel primo.

Per dimostrare il suddetto teorema, consideriamo due sistemi di forze $(a)$ e $(b)$ applicate al medesimo solido elastico. 

Applichiamo il sistema $(a)$ e, a seguire, il sistema $(b)$. L'energia potenziale elastica sarà dato da

$$ L^{(a)+(b)} = L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(ab)}$$

in cui:
  * $L^{(a)}$ è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(a)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(a)$
  * $L^{(b)}$ è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(b)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(b)$
  * $L^{(ab)}$ è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(a)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(b)$

Supponendo invece di applicare prima il sistema $(b)$ e poi il sistema $(a)$

$$ L^{(b)+(a)} = L^{(b)} + L^{(a)} + L^{(ba)}$$

in cui abbiamo introdotto il termine  $L^{(ba)}$ che è il lavoro di deformazione delle tensioni del sistema $(b)$ rispetto agli spostamenti del sistema $(a)$.

//Trattandosi di un corpo elastico//, i due potenziali elastici devono essere uguali, quindi

$$ L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(a)\rightarrow(b)} = L^{(b)} + L^{(a)} + L^{(ba)} \Longrightarrow L^{(ab)} = L^{(ba)}$$

Ricordiamo che i potenziali in questione sono pari a

$$ L^{(ab)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{el} \, \mathrm{d}V$$

$$ L^{(ba)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{el} \, \mathrm{d}V$$

Proseguiamo applicando il principio dei lavori virtuali ai due sistemi assumendo il sistema $(a)$ come sistema staticamente ammissibile ed il sistema $(b)$ come cinematicamente ammissibile. Abbiamo

$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$

in cui:
  * $F^{(a)}_i$ sono le forze esterne del sistema a
  * $\eta^{(b)}_i$ sono gli spostamenti nel sistema b dei punti di applicazione delle forze $F^{(a)}_i$ del sistema a
  * $R^{(a)}_i$ sono le reazioni vincolari del sistema a
  * $\gamma^{(b)}_i$ sono i cedimenti vincolari del sistema b

Assumendo invece il sistema $(b)$ come sistema staticamente ammissibile ed il sistema $(a)$ come cinematicamente ammissibile abbiamo

$$ \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$

con ovvio significato di simboli.

Ricordandoci che le deformazioni totali sono pari alla somma delle deformazioni elastiche e impresse

$$ \boldsymbol\epsilon_{tot} = \boldsymbol\epsilon_{el} + \bar{\boldsymbol\epsilon} $$

le due equazioni ottenute applicando il principio dei lavori virtuali possono essere scritte nella forma

$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{el} \, \mathrm{d}V + \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(b)} \, \mathrm{d}V$$

$$ \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{el} \, \mathrm{d}V + \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(a)} \, \mathrm{d}V$$

Applicando le considerazioni viste poco sopra arriviamo a scrivere

$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(b)} \, \mathrm{d}V =
\sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(a)} \, \mathrm{d}V$$

che è la formulazione generalizzata del teorema di reciprocità.