Si consideri una trave semplicemente appoggiata soggetta ad un carico assiale di compressione $N$ ($N > 0$). Analizziamo l'equilibrio a rotazione di un tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ nella configurazione deformata

$$\frac{\mathrm{d} M_z}{\mathrm{d}x} - N \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}x} = T_y$$

Derivando tale relazione due volte e ricordando che, in assenza di carico trasversale distribuito, l'equilibrio a traslazione verticale ci permette di scrivere

$$\frac{\mathrm{d} T_y}{\mathrm{d}x} = 0$$

otteniamo

$$\frac{\mathrm{d^2} M_z}{\mathrm{d}x^2} + N \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} = 0$$

Supponendo trascurabile l'influenza del taglio sulla linea elastica

$$E \, I_z \frac{\mathrm{d^4} v}{\mathrm{d}x^4} + N \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} = 0$$

che possiamo scrivere anche nella forma

$$\frac{\mathrm{d^4} v}{\mathrm{d}x^4} + \alpha^2 \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} = 0$$

in cui

$$\alpha^2 = \frac{N}{E I_z}$$

Imponiamo le condizioni al contorno

$$ v(0) = 0$$

$$ v(l) = 0$$

$$ M_z(0) = - E I_z \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} (0) = 0$$

$$M_z(l) = - E I_z \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} (l) = 0$$

Sicuramente la soluzione indeformata rispetta i termini del nostro problema

$$v(x) = 0$$

Inoltre per

$$\alpha \, l = k \, \pi$$

$k \in \mathbb{Z}$

alla soluzione indeformata si aggiungono tutte le infinite soluzioni

$$v(x) = B \, \sin ( \alpha x) $$

in cui $B \in \mathbb{R}$.

Quindi per $\alpha = k \, \pi / l$ accanto alla soluzione indeformata l’asta ammette infinite configurazioni inflesse di ampiezza indefinita (biforcazione dell’equilibrio). Ai suddetti valori di $\alpha$ corrispondono valori del carico assiale ben precisi. Il più piccolo valore di $N$ che rispetta la suddetta relazione è detto carico critico euleriano

$$N_{cr} = \frac{\pi^2 E J}{l^2}$$

Definita snellezza della trave la grandezza

$$\lambda = \frac{l}{i} = l \sqrt{\frac{A}{I_z}}$$

il carico critico euleriano può essere scritto nella forma

$$N_{cr} = \frac{\pi^2 E A}{\lambda^2}$$

Dividendo per l'area della sezione trasversale otteniamo la tensione critica euleriana

$$\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$$

Le soluzioni appena trovate possono essere estese anche a condizioni di vincolo diverse, avendo l'accortezza di sostituire alla lunghezza $l$ la lunghezza libera di inflessione $L_0$ definita come la distanza minima tra i punti di flesso della deformata. Posta $l$ la lunghezza della trave analizzata, avremo

$$ L_0 = \beta l$$

in cui $\beta$ è funzione delle sole condizioni al contorno.

Diamo di seguito alcuni valori di $\beta$