Supponiamo la nostra storia di carico sia costituita da una funzione a gradino

$$ \sigma_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ \sigma_{x,0} & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

$$\sigma_{y} = \sigma_{z} = \tau_{xy} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$$

Definiamo coefficente di fluage il valore assunto dalla deformazione viscosa per $t \ge t_0$

$$ \varepsilon_{cc,x} (t) = \sigma_{x,0} \frac{\varphi(t,t_0)}{E_c} $$

in cui $E_c$ è il modulo di elasticità normale al tempo $t_0$. L'aver supposto una relazione lineare tra $\varepsilon_{cc,x} (t)$ e $\sigma_{x,0}$ è una diretta conseguenza dell'ipotesi viscoelastica lineare.

Sommando alla deformazione viscosa la deformazione elastica otteniamo

$$ \varepsilon_{x} (t) = \sigma_{x,0} \frac{1+\varphi(t,t_0)}{E_c(t_0)} $$

Chiamiamo la grandezza

$$J(t,t_0) = \frac{1+\varphi(t,t_0)}{E_c(t_0)}$$

funzione di fluage.

Nel caso invece di una generica storia tensionale

$$\sigma_x(t) = \begin{cases} 0 & t < t_0 \\\\ \sigma_{x,0} & t = t_0 \\\\ \sigma_{x,0} + \sigma_{x,1}(t)& t > t_0 \\\\ \end{cases}$$

in cui

$$\sigma_{x,1}(t_0) = 0$$

l'ipotesi viscoelastica lineare ci permette di scrivere

$$\varepsilon_x(t,t_0) = J(t,t_0) \sigma_{x,0} + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \sigma_{x,1}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$

Supponiamo di sottoporre un provino alla seguente storia di deformazione

$$ \varepsilon_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ \varepsilon_{x,0} & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

Definiamo la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$ in maniera tale che il corrispondente valore della tensione per $t \ge t_0$ sia espresso nella forma

$$ \sigma_{x} (t) = \varepsilon_{x,0} R(t,t_0) $$

Anche in questo caso l'aver supposto una relazione lineare tra $\sigma_{x} (t)$ e $\varepsilon_{x,0}$ è una diretta conseguenza dell'ipotesi viscoelastica lineare.

Nel caso di deformazioni imposte di tipo generico

$$\varepsilon_x(t) = \begin{cases} 0 & t < t_0 \\\\ \varepsilon_{x,0} & t = t_0 \\\\ \varepsilon_{x,0} + \varepsilon_{x,1}(t)& t > t_0 \\\\ \end{cases}$$

in cui

$$\varepsilon_{x,1}(t_0) = 0$$

l'ipotesi viscoelastica lineare ci permette di scrivere

$$\sigma_x(t,t_0) = R(t,t_0) \varepsilon_{x,0} + \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \varepsilon_{x,1}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$

Supponendo nota la funzione di fluage $J(t,t_0)$, deriviamo da quest'ultima la funzione di rilassamento. Per farlo sottoponinamo il nostro provino alla seguente storia di deformazione

$$ \varepsilon_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ 1 & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

Secondo quanto visto sopra

$$\varepsilon_x(t,t_0) = 1 = J(t,t_0) \, \sigma_{x} (t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \sigma_{x}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$

La tensione $\sigma_{x}(t)$ è uguale alla funzione di rilassamento, quindi possiamo scrivere

$$1 = J(t,t_0) \, R(t_0,t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\partial R(t,t_0)}{\partial t} \, \mathrm{d}t$$

Integrando la numericamente tale relazione riusciamo a derivare la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$.

Analogamente possiamo derivare la funzione di fluage nota la funzione di rilassamento. Questa volta sottoponiamo il nostro materiale alla storia tensionale

$$ \sigma_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ 1 & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

La deformazione al tempo $t$ sarà pari alla funzione di fluage, allora possiamo scrivere la relazione

$$1 = R(t,t_0) J(t, t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\partial J(t,t_0)}{\partial t} \, \mathrm{d}t$$

che integrata numericamente ci permette di trovare la funzione $J(t,t_0)$ cercata.

Le due relazioni differenziali trovate sono chiamate integrali di Volterra.