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Fune soggetta a carichi verticali distribuiti
Analizzeremo l'equilibrio di una fune soggetta ad un carico verticale distribuito $q$, distribuito in maniera costante rispetto all'orizzontale ($q(x) = cost $).
Caso generale
Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.
L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà
$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$
da cui deriviamo la relazione
$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$
che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$
Rimangono da determinare i valori della componente orizzontale $H$ e delle costanti $C_1$ e $C_2$.
Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo.
Di solito avremo condizioni del tipo
$$y(x_1) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_1^2 + C_1 \, x_1 + C_2 = y_1$$
$$y(x_2) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_1 \, x_2 + C_2 = y_2$$
La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune.
La lunghezza di una curva, in generale, è pari a
$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$
Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo
$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$
Per risolvere l'integrale osserviamo che (vedi pagina su integrali indefiniti notevoli
$$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln \left| u + \sqrt{1+u^2} \right|\right) $$
Facciamo la posizione
$$u = - \frac{q}{H} x + C_1 $$
da cui
$$\mathrm{d} u = - \frac{q}{H} \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \, \mathrm{d}u $$
Procedendo per sostituzione l'integrale diventa
$$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = \, \\ \, = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} + \ln \left| - \frac{q}{H} x + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} \right| \right] $$
La terza equazione cercata è allora
$$l = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2} - \left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2} + \ln \left| \frac{- \frac{q}{H} x_2 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2}} {- \frac{q}{H} x_1 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2}} \right| \right] $$
Le tre equazioni costituiscono un sistema non lineare che ci permette di calcolare $C_1$, $C_2$ e $H$.
Fune simmetria rispetto ad asse verticale
Nel caso la fune, e quindi i suoi vincoli, siano simmetrici rispetto ad un asse verticale, con un semplice cambio di coordinate possiamo fare in modo che
$$x_2 = -x_1 $$
$$C_1 = 0 $$
e che la deformata assuma la forma semplificata
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$
La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione
$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \, \\ \, \Longrightarrow l = - \frac{H}{q} \left( \frac{q}{H} x_1 \sqrt{1+\frac{q^2}{H^2} x_1^2} + \ln \left| \frac{q}{H} x_1 + \sqrt{1+ \frac{q^2}{H^2} x_1^2 } \right| \right) $$
Questa equazione, unita a quella già vista su
$$- \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_2 = y_2 \Longrightarrow C_2 = y_2 + \frac{q}{2 \, H} x_2^2 $$
ci permette di risolvere il problema.
La grossa semplificazione che l'ipotesi di simmetria assiale ci permette di realizzare è quella di avere due equazione disaccoppiate, la cui soluzione è molto più agevole di quella del sistema visto in precedenza.