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Fune soggetta a carichi verticali distribuiti
Caso generale
Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.
L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà
$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$
da cui deriviamo la relazione
$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$
che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$
Rimangono da determinare il valore della componente orizzontale $H$ e i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$.
Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo.
Di solito avremo condizioni del tipo
$$y(x_1) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_1^2 + C_1 \, x_1 + C_2 = y_1$$
$$y(x_2) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_1 \, x_2 + C_2 = y_2$$
La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune.
La lunghezza di una curva, in generale, è pari a
$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$
Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo
$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$
Per risolvere l'integrale osserviamo che (vedi pagina su integrali indefiniti notevoli
$$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln | u + \sqrt{1+u^2} |\right) $$
Facciamo la posizione
$$u = - \frac{q}{H} x + C_1 $$
da cui
$$\mathrm{d} u = - \frac{q}{H} \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \, \mathrm{d}u $$
Procedendo per sostituzione l'integrale diventa
$$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = - \frac{H}{2 q} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln | u + \sqrt{1+u^2} |\right) $$
Fune simmetria rispetto ad un asse verticale
Nel caso la fune sia simmetrica rispetto ad un asse verticale, con un semplice cambio di coordinate possiamo esprimere la deformata nella forma
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$
La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione
$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$