====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ======

Analizzeremo l'equilibrio di una fune soggetta ad un carico verticale distribuito $q$, distribuito in maniera costante rispetto all'orizzontale ($q(x) = cost $).

===== Caso generale =====

Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$. 

L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà

$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$

da cui deriviamo la relazione

$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$

che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione

$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$

Rimangono da determinare i valori della componente orizzontale $H$ e delle costanti $C_1$ e $C_2$. 

Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo.

Di solito avremo condizioni del tipo

$$y(x_1) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_1^2 + C_1 \, x_1 + C_2 = y_1$$

$$y(x_2) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_1 \, x_2 + C_2 = y_2$$

La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune. 

La lunghezza di una curva, in generale, è pari a

$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$

Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo

$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$

Per risolvere l'integrale osserviamo che (vedi pagina su [[matematica:integrali_indefiniti_notevoli|integrali indefiniti notevoli]]

$$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln \left| u + \sqrt{1+u^2} \right|\right) $$

Facciamo la posizione

$$u = - \frac{q}{H} x + C_1 $$

da cui

$$\mathrm{d} u = - \frac{q}{H} \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \, \mathrm{d}u $$

Procedendo per sostituzione l'integrale diventa

$$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = \, \\
\, = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} + \ln \left| - \frac{q}{H} x + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} \right| \right] $$

La terza equazione cercata è allora

$$l = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2} - \left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2} + \ln \left| \frac{- \frac{q}{H} x_2 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2}} {- \frac{q}{H} x_1 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2}} \right| \right] $$

Le tre equazioni costituiscono un sistema non lineare che ci permette di calcolare $C_1$, $C_2$ e $H$.

===== Fune simmetria rispetto ad asse verticale =====

Nel caso la fune, e quindi i suoi vincoli, siano simmetrici rispetto ad un asse verticale, con un semplice cambio di coordinate possiamo fare in modo che 

$$x_2 = -x_1 $$

$$C_1 = 0 $$

e che la deformata assuma la forma semplificata

$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$

La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione

$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \, \\
\, \Longrightarrow l = - \frac{H}{q} \left( \frac{q}{H} x_1 \sqrt{1+\frac{q^2}{H^2} x_1^2} + \ln \left| \frac{q}{H} x_1 + \sqrt{1+ \frac{q^2}{H^2} x_1^2 } \right| \right) $$

Questa equazione, unita a quella già vista su

$$- \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_2 = y_2 \Longrightarrow C_2 = y_2 + \frac{q}{2 \, H} x_2^2 $$

ci permette di risolvere il problema. 

La grossa semplificazione che l'ipotesi di simmetria assiale ci permette di realizzare è quella di avere due equazione disaccoppiate, la cui soluzione è molto più agevole di quella del sistema visto in precedenza.