scienza_costruzioni:flessione
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Flessione ====== | ====== Flessione ====== | ||
- | ===== Flessione retta ===== | + | ===== Caso generale |
- | $$\mathbf{\sigma} = | + | Supponiamo valida lipotesi di conservazione delle sezioni piane |
- | \begin{Bmatrix} | + | |
- | \sigma_x \\\\ | + | |
- | \sigma_y \\\\ | + | |
- | \sigma_z \\\\ | + | |
- | \tau_xy \\\\ | + | |
- | \tau_xz \\\\ | + | |
- | \tau_yz | + | |
- | \end{Bmatrix} = | + | |
- | \begin{Bmatrix} | + | |
- | \lambda + \mu_x \, x + \mu_y \, y\\\\ | + | |
- | 0 \\\\ | + | |
- | 0 \\\\ | + | |
- | 0 \\\\ | + | |
- | 0 \\\\ | + | |
- | 0 | + | |
- | \end{Bmatrix}$$ | + | |
- | $$\mathbf{\epsilon} | + | $$ \varepsilon_x |
- | \begin{Bmatrix} | + | |
- | \epsilon_x \\\\ | + | |
- | \epsilon_y \\\\ | + | |
- | \epsilon_z \\\\ | + | |
- | \gamma_{xy} \\\\ | + | |
- | \gamma_{xz} \\\\ | + | |
- | \gamma_{yz} | + | |
- | \end{Bmatrix} = | + | |
- | \begin{Bmatrix} | + | |
- | \frac{\lambda | + | |
- | -\frac{\nu \, (\lambda | + | |
- | -\frac{\nu \, (\lambda + \mu_x \, x + \mu_y \, y)}{E} \\\\ | + | |
- | 0 \\\\ | + | |
- | 0 \\\\ | + | |
- | 0 | + | |
- | \end{Bmatrix}$$ | + | |
- | ===== Flessione deviata ===== | + | |
- | ===== Pressoflessione | + | SUpponiamo inoltre sia |
+ | |||
+ | $$ \sigma_y | ||
+ | |||
+ | Dalla legge costitutiva elastico-lineare ricaviamo la relazione tra $\varepsilon_x$ e $\sigma_x$ | ||
+ | |||
+ | $$ \sigma_x | ||
+ | |||
+ | Integriamo le tensioni $\sigma_x$ sulla superficie della sezione $S$, ottenendo | ||
+ | |||
+ | $$N = \iint \limits_{S} \sigma_x | ||
+ | E \left( \lambda A + S_{y} \, \mu_y + S_{z} \mu_z \right) $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$M_y = E \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) z \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = E \left( S_{y} \, \lambda + I_{zz} \, \mu_y + I_{yz} \, \mu_z \right) $$ | ||
+ | |||
+ | $$M_z = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = - E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) y \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = - E \left( S_{z} \, \lambda + I_{yz} \, \mu_y + I_{yy} \, \mu_z \right) $$ | ||
+ | |||
+ | In forma matriciale possiamo scrivere | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{f} = | ||
+ | \begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} = | ||
+ | E \begin{bmatrix} A & S_y & S_z \\ S_y & I_{zz} & I_{yz} \\ - S_z & - I_{yz} & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$ | ||
+ | |||
+ | E' definito sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione un sistema che sia (vedi la sezione sulla [[scienza_costruzioni: | ||
+ | * baricentrico: | ||
+ | * principale di inerzia $I_{yz} = 0$ | ||
+ | |||
+ | Se non siamo già in un sistema di riferimento inerziale, ruotiamo e trasliamo la nostra sezione di modo da porci sotto tali ipotesi. In questo modo la matrice $\boldsymbol{K}$ diventa diagonale semplificando drasticamente la relazione tra $\boldsymbol{f}$ ed $\boldsymbol{\eta}$ | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{f_C} = | ||
+ | \begin{pmatrix} N \\ M^{\odot}_{C, | ||
+ | E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & I_{C,zz} & 0 \\ 0 & 0 & - I_{C, | ||
+ | |||
+ | Di conseguenza | ||
+ | |||
+ | $$\lambda_{C} = \frac{N}{E \, A} $$ | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,y} = \frac{M_{C, | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,z} = - \frac{M_{C, | ||
+ | |||
+ | Notiamo che nella rototraslazione del sistema di riferimento, | ||
+ | |||
+ | ===== Flessione retta ===== | ||
+ | Si definisce sezione retta il caso in cui: | ||
+ | * lo sforzo normale è nullo | ||
+ | * il momento applicato alla sezione è parallelo ad una direzione principale di inerzia. |
scienza_costruzioni/flessione.1354472165.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)