====== Flessione ======

===== Caso generale =====

Supponiamo valida lipotesi di conservazione delle sezioni piane

$$ \varepsilon_x = \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y  $$

SUpponiamo inoltre sia

$$ \sigma_y = \sigma_z = 0 $$

Dalla legge costitutiva elastico-lineare ricaviamo la relazione tra $\varepsilon_x$ e $\sigma_x$

$$ \sigma_x = E \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) $$

Integriamo le tensioni $\sigma_x$ sulla superficie della sezione $S$, ottenendo

$$N = \iint \limits_{S} \sigma_x = E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) \mathrm{d} y \; \mathrm{d} z = 
E \left( \lambda A + S_{y} \, \mu_y + S_{z} \mu_z \right) $$


$$M_y = E \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) z \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = E \left( S_{y} \, \lambda + I_{zz} \, \mu_y +  I_{yz} \, \mu_z \right) $$

$$M_z =  - \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = - E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) y \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = - E \left( S_{z} \, \lambda + I_{yz} \, \mu_y +  I_{yy} \, \mu_z \right) $$

In forma matriciale possiamo scrivere

$$\boldsymbol{f} =
\begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} = 
E \begin{bmatrix} A & S_y & S_z \\ S_y & I_{zz} & I_{yz} \\ - S_z & - I_{yz} & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$

E' definito sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione un sistema che sia (vedi la sezione sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|Geometria delle aree]]):
  * baricentrico: $S_y = S_z = 0$)
  * principale di inerzia $I_{yz} = 0$

Se non siamo già in un sistema di riferimento inerziale, ruotiamo e trasliamo la nostra sezione di modo da porci sotto tali ipotesi. In questo modo la matrice $\boldsymbol{K}$ diventa diagonale semplificando drasticamente la relazione tra $\boldsymbol{f}$ ed $\boldsymbol{\eta}$

$$\boldsymbol{f_C} =
\begin{pmatrix} N \\ M^{\odot}_{C,y} \\ M_{C,z}\end{pmatrix} =
E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & I_{C,zz} & 0 \\ 0 & 0 & - I_{C,yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{C} \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta_C}$$

Di conseguenza

$$\lambda_{C} = \frac{N}{E \, A} $$

$$\mu_{C,y} = \frac{M_{C,y}}{E \, I_{C,zz}} $$

$$\mu_{C,z} = - \frac{M_{C,z}}{E \, I_{C,yy}} $$

Notiamo che nella rototraslazione del sistema di riferimento, l'area e lo sforzo normale rimangono invariati, cambiano i momenti di inerzia e le coppie applicate alla sezione.

===== Flessione retta =====

Si definisce sezione retta il caso in cui:
  * lo sforzo normale è nullo
  * il momento applicato alla sezione è parallelo ad una direzione principale di inerzia.