====== Oscillatore a più gradi di libertà ======

===== Equazione dell'equilibrio dinamico =====

Lo stato di equilibrio dinamico di un sistema elastico lineare ad $n$ gradi di libertà viene descritto attraverso il seguente sistema di equazioni differenziali

$$\boldsymbol{M} \, \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{C} \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{K} \, \boldsymbol{x} = 
\boldsymbol{f}(t)$$

===== Proprietà delle matrici [M] e [K]=====

L'energia cinetica del nostro sistema è data da

$$E_c= \frac{1}{2} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} \right)^T \boldsymbol{M} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x}\ge 0 $$

Poiché l'energia cinetica deve essere sempre positiva, la matrice $\boldsymbol{M}$ è definita positiva.

Analogamente l'energia potenziale elastica del nostro sistema è data da 

$$U_{el} = \frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} \ge 0$$

quindi anche la matrice $\boldsymbol{K}$ è definita positiva.

Per dimostrare la simmetria della matrice $\boldsymbol{M}$ consideriamo la nostra struttura in due configurazioni, una prima soggetta a spostamenti nodali tutti nulli, tranne lo spostamento i-esimo

$$\left( \begin{matrix} 
0 \\
\vdots \\
0 \\
\eta_i \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{matrix} \right) $$

ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo

$$\left( \begin{matrix} 
0 \\
\vdots \\
0 \\
\eta_j \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{matrix} \right) $$

Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che

$${F_j} {\eta_j} = {F_i} {\eta_i}$$

che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa

$$k_{j,i} {\eta_{i}} {\eta_j} = k_{i,j} {\eta_j} {\eta_i}$$

da cui infine

$$k_{j,i} = k_{i,j}$$

che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza $\boldsymbol{K}$.