====== Sezioni sottili generiche ======

===== Sezioni sottili rettilinee =====

Si consideri una sezione rettilinea sottile in cui $t$ sia la dimensione minore (leggi spessore) e $P_1(y_1, z_1)$, $P_2(y_2, z_2)$ i punti estremi.

Poniamo inoltre

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

$$\Delta z = z_2 - z_1$$

$$l = \sqrt{ \Delta y ^2 + \Delta z^2}$$

in cui $l$ è quindi la dimensione maggiore della nostra sezione.

L'area della nostra sezione è data da

$$A = t \, l$$

I momenti statici della sezione rispetto agli assi $y$ e $z$ sono dati da

$$S_y = t \, l \frac{z_1 + z_2}{2}$$

$$S_z = t \, l \frac{y_1 + y_2}{2}$$

I momenti di inerzia invece sono dati dalle seguenti formule

$$I_{yy} = t \, l \left( z_1^2 + z_1 \, \Delta z + \frac{\Delta z^2}{3} \right)$$

$$I_{zz} = t \, l \left( y_1^2 + y_1 \, \Delta y + \frac{\Delta y^2}{3} \right)$$

$$I_{yz} = t \, l \left( y_1 \, z_1 + \frac{1}{2} \left( y_1 \, \Delta z + z_1 \Delta y \right) + \frac{\Delta y \, \Delta z}{3} \right)$$

E infine i seguenti integrali

$$\iint\limits_S \, y^3 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = t \, l \left( y_1^3 + \frac{3}{2} y_1^2 \, \Delta y + y_1 \, \Delta y^2 + \frac{\Delta y^3}{4}\right)$$

$$\iint\limits_S \, z^3 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = t \, l \left( z_1^3 + \frac{3}{2} z_1^2 \, \Delta z + z_1 \, \Delta z^2 + \frac{\Delta z^3}{4}\right)$$

$$\iint\limits_S \, y z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = t \, l \left( y_1 \, z_1^2 + \frac{2 y_1 \, z_1 \Delta z + z_1^2 \, \Delta y}{2} + \frac{y_1 \, \Delta z^2 + 2 z_1 \, \Delta y \, \Delta z}{3} + \frac{\Delta y \Delta z^2}{4} \right)$$

$$\iint\limits_S \, y^2 z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = t \, l \left( y_1^2 \, z_1 + \frac{2 y_1 \, z_1 \Delta y + y_1^2 \, \Delta z}{2} + \frac{z_1 \, \Delta y^2 + 2 y_1 \, \Delta y \, \Delta z}{3} + \frac{\Delta y^2 \Delta z}{4} \right)$$

===== Archi di circonferenza =====

Si consideri una sezione sottile costituita da un arco di circonferenza in cui

  * $R$ è il raggio dell'arco di cerchio
  * $t$ è lo spessore della sezione
  * $\alpha_i$ è l'angolo iniziale dell'arco, formato dall'asse $y$ e dal raggio congiungente l'origine e il punto iniziale dell'arco
  * $\alpha_f$ è l'angolo finale dell'arco, formato dall'asse $y$ e dal raggio congiungente l'origine e il punto finale dell'arco
  * $\Delta\alpha$ è l'angolo descritto dall'arco, ($\Delta\alpha = \alpha_f - \alpha_i$)
  * $C(y_C, z_C)$ è il centro della circonferenza

I momenti statici sono pari a

$$S_z = t \, R [ y_C \Delta \alpha + R (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i) ]$$

$$S_y = t \, R [ z_C \Delta \alpha - R (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i) ]$$

Per i momenti di inerzia valgono invece le seguenti formule

$$I_{zz} = t \, R \left[ \left( y_C^2 + \frac{R^2}{2}\right) \Delta \alpha + 2 R \, y_C \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + \frac{R^2}{4} \left( \sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i \right) \right]$$

$$I_{yy} = t \, R \left[ \left( z_C^2 + \frac{R^2}{2}\right) \Delta \alpha - 2 R \, z_C (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i) - \frac{R^2}{4} (\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i)\right]$$

$$I_{yz} = t \, R \left[ y_C \, z_C \Delta \alpha - R \, y_C (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i) + R \, z_C (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i) - \frac{R^2}{4} (\cos 2 \alpha_f - \cos 2 \alpha_i) \right]$$

E infine gli integrali

$$\iint\limits_S \, y^3 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \,$$
$$ \, = t \, R \left[ 
y_C \left(y_C^2 + \frac{3}{2} R^2 \right) \Delta \alpha
+ R (3 y_C^2 + R^2) ( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i)
+ \frac{3}{4} y_C \, R^2 (\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i)
- \frac{R^3}{3} (\sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i) 
\right]$$

$$\iint\limits_S \, z^3 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \,$$
$$ \, = t \, R \left[ 
z_C \left(z_C^2 + \frac{3}{2} R^2 \right) \Delta \alpha
- R (3 z_C^2 + R^2) ( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i)
- \frac{3}{4} z_C \, R^2 (\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i)
+ \frac{R^3}{3} (\cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i) 
\right]$$

$$\iint\limits_S \, y z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \,$$
$$ \, = t \, R \left[ 
y_C \left(z_C^2 + \frac{R^2}{2} \right) \Delta \alpha
- 2 R \, y_C \, z_C (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i)
+ R \, z_C^2 (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i)
- \frac{R^2 \, z_C}{2} (\cos 2 \alpha_f - \cos 2 \alpha_i)
- \frac{R^2 \, y_C}{4} (\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i)
+ \frac{R^3}{3} (\sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i) 
\right]$$

$$\iint\limits_S \, y^2 z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \,$$
$$ \, = t \, R \left[ 
z_C \left(y_C^2 + \frac{R^2}{2} \right) \Delta \alpha
- R \, y_C^2 (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i)
+ 2 R \, y_C \, z_C (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i) 
- \frac{R^2 \, y_C}{2} (\cos 2 \alpha_f - \cos 2 \alpha_i)
+ \frac{R^2 \, z_C}{4} (\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i)
- \frac{R^3}{3} (\cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i) 
\right]$$