====== Calcolo non lineare mediante teoria delle deformazioni impresse ======

===== Caso unidimensionale =====

Supponiamo una relazione tra sforzo normale e deformazione di tipo non lineare

$$ N = N( \varepsilon ) $$

Sotto l'ipotesi lineare, applicando le deformazioni impresse, 

$$ N = E \, A \, \left( \varepsilon - \overline \varepsilon \right) $$

Supponiamo in prima battuta $\overline \varepsilon_0 = 0$, quindi data una forza esterna $F$, avremmo una deformazione

$$ \varepsilon_0 = \overline \varepsilon_0 + \frac{F}{E \, A} $$

Poiché in generale $ N( \varepsilon_0 ) $ sarà diverso da $F$, valutiamo la differenza

$$\Delta N_0 = F - N \left( \varepsilon_0 \right) $$

Per far coincidere gli stati di deformazione e tensione tra il modello lineare e quello non lineare, introduciamo nel primo una deformazione impressa

$$\Delta \overline \varepsilon_1 = \frac{ \Delta N_0 } {E A}$$

che sommata a $\overline \varepsilon_0$ ci dà

$$ \overline \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$

Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_1$ otteniamo una deformazione 

$$ \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_1 + \frac{F}{E \, A} $$

Anche in questo caso avremo in generale una differenza

$$\Delta N_1 = F - N \left( \varepsilon_1 \right) \ne 0 $$

La deformazione impressa $ \overline \varepsilon_0$ dovrà essere pertanto aumentata della quantità

$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$

ottenendo la deformazione impressa complessiva

$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$

Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_2$ otteniamo una deformazione totale

$$ \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_2 + \frac{F}{E \, A} $$

Anche in questo caso avremo in generale una differenza

$$\Delta N_2 = F - N \left( \varepsilon_2 \right) $$

La deformazione impressa complessiva dovrà essere aumentata della quantità

$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$

ottenendo

$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_1 + \Delta \overline \varepsilon_2$$

Si procede iterativamente fintantoché la differenza $\Delta N_i$ non si annulli o in generale diventi trascurabile rispetto alla capacità resistente della sezione.

===== Caso generale =====

In generale la relazione tra caratteristiche di sollecitazione e parametri di deformazione della sezione è

$$ \left(  \begin{matrix}
N \\\\ M_{y} \\\\M_{z}
\end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix} 
N \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\ 
M_{y} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\
M_{z} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right)
\end{matrix} \right)
$$

Sotto l'ipotesi elastico lineare, supponendo di lavorare nel sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione, la relazione si semplifica assumendo la forma

$$ \left(  \begin{matrix}
N \\\\ M_{y} \\\\M_{z}
\end{matrix} \right) =
E \begin{bmatrix} 
A & 0 & 0 \\\\
0 & I_{yy} & 0 \\\\
0 & 0 & - I_{zz}
\end{bmatrix}
 \left(  \begin{matrix} 
\lambda \\\\ \mu_y \\\\ \mu_z
\end{matrix} \right) $$