====== Modulo resistente plastico ======

===== Caso generale =====

Supponiamo di voler calcolare il modulo di resistenza a flessione rispetto ad una direzione individuata dal versore $\boldsymbol{n}$ di coordinate $(n_y, n_z)$, nell'ipotesi di legge costitutiva perfettamente plastica.

Chiamiamo $\alpha$ l'angolo tra il versore $\boldsymbol{n}$ e il versore dell'asse $y$

$$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{n_z}{n_y} \right)$$

Chiamiamo $\boldsymbol{t}$ il vettore ortogonale ad $\boldsymbol{n}$, di componenti $(-n_z, n_y)$

Stiamo cercando una configurazione deformativa per la quale 

$$N = 0$$
$$M_{t} = 0$$
$$M_{n} \ne 0$$

La deformazione è data da

$$\varepsilon = \lambda + \mu_z \, y + \mu_y \, z$$

la ricerca della configurazione deformata corrisponde alla ricerca dei valori $\lambda$, $\mu_y$ e $\mu_z$.

Chiamiamo la retta di equazione 

$$0 = \sin \theta \, y - \cos \theta \, z$$

//retta di massima deformazione// che in forma parametrica diventa

$$\begin{matrix}
y = \cos \theta \, t \\\\
z = \sin \theta \, t
\end{matrix}$$

L'asse neutro (asse con tensioni nulle) ha equazione

$$0 = \lambda + \mu_z \, y + \mu_y \, z$$

che possiamo esprimere anche nella forma

$$0 = \cos \theta \, \left( y - y_0 \right) + \sin \theta \, \left( z - z_0 \right)$$

in cui:
  * $\theta$ è l'angolo tra la direzione di massima deformazione e l'asse $y$
  * $(y_0, z_0)$ è il punto di intersezione tra l'asse neutro e la retta di massima deformazione.

Supponendo noto $\theta$, individuiamo le due rette $r_{inf}$ ed $r_{sup}$, parallele all'asse neutro, che contengono la sezione. Le due rette avranno equazione

$$0 = \cos \theta \, \left(y - y_{inf}\right) + \sin \theta \, \left(z - z_{inf}\right) $$

$$0 = \cos \theta \, \left(y - y_{sup}\right) + \sin \theta \, \left(z - z_{sup}\right) $$

Per trovare i punti $(y_{inf}, z_{inf})$ e $(y_{sup}, z_{sup})$ nel caso di sezioni delimitate da segmenti o, analogamente, di sezioni sottili costituite da segmenti, proiettiamo i punti della sezione lungo la retta di massima deformazione. I valori delle proiezioni sono dati da

$$t_{i} = \cos \theta \, y_{i} + \sin \theta \, z_{i}$$

Nel caso di sezione sottile costituita da archi, siano $(y_{C,i,} z_{C,i})$ le coordinate del centro dell'arco i-esimo e $\alpha_i$, $\Delta \alpha_i$ rispettivamente angolo iniziale e ampiezza dell'arco.

Sotto tali ipotesi, partiamo con il calcolare i valori del parametro $t$ in corrispondenza del punto inizale e del punto finale dell'arco:

$$ t_{i,1} = \cos \theta \, [y_{C,i} + R_{i} cos(\alpha_i) + \sin \theta \, [z_{C,i} + R_i sin(\alpha_i) ]$$

$$ t_{i,2} = \cos \theta \, [ y_{C,i} + R_{i} cos(\alpha_i + \Delta \alpha_i ) ] + \sin \theta \, [z_{C,i} + R_i sin(\alpha_i + \Delta \alpha_i ) ]$$

Solo se $\alpha_i \le \theta \le (\alpha_i + \Delta \alpha_i)$,  

$$ t_{i,3} = \cos \theta \, [y_{C,i} + R_{i} cos(\theta) + \sin \theta \, [z_{C,i} + R_i sin(\theta) ]$$

Solo se $\alpha_i \le \theta + \pi \le (\alpha_i + \Delta \alpha_i)$,  

$$ t_{i,4} = \cos \theta \, [y_{C,i} - R_{i} cos(\theta) + \sin \theta \, [z_{C,i} - R_i sin(\theta) ]$$

Dei quattro valori $t_{i,j}$ così individuati andremo a considerare il valore minimo e quello massimo.

Ripetiamo questo calcolo per tutti gli elementi che compongono la sezione ed alla fine prendiamo, tra i vari $t_i$, il minimo ed il massimo valore, rispettivamente $t_{inf}$ e $t_{sup}$, da cui

$$\begin{matrix}
y_{inf} = \cos \theta \, t_{inf} \\\\
z_{inf} = \sin \theta \, t_{inf}
\end{matrix}$$

$$\begin{matrix}
y_{sup} = \cos \theta \, t_{sup} \\\\
z_{sup} = \sin \theta \, t_{sup}
\end{matrix}$$

Le incognite sono:
  * l'angolo $\theta$
  * le coordinate $(y_0, z_0)$

Per individuarli impostiamo un metodo iterativo, in cui partiamo assumendo $\theta = \alpha$, e di conseguenza cerchiamo i valori di $(y_0, z_0)$ che ci permettono di verificare la condizione $N = 0$. A tale scopo dopo avere tagliato la sezioni in due sottosezioni mediante l'asse neutro, imponiamo che le aree delle due sezioni siano uguali.

Fatto questo verifichiamo se $M_{t} = 0$. A tale scopo calcoliamo i momenti statici delle due sezioni rispetto agli assi del ssitema di riferimento. $S_{t}$ ed $S_{n}$ saranno dati da

$$\left( 
\begin{matrix} S_{n} \\\\ S_{t} \end{matrix} 
\right) = 
\begin{bmatrix} 
\cos \alpha & \sin \alpha \\\\
- \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}
\left(
\begin{matrix} S_{y} \\\\ S_{z} \end{matrix} 
\right) 
$$

La condizione $M_{t} = 0$ equivale ad imporre che gli $S_t$ delle due aree siano uguali tra di loro.

Se quest'ultima condizione non si verifica, proviamo con un nuovo valore di $\theta$, e reiteriamo finché non sono rispettate entrambre le condizioni $N = 0$ e $M_{t} = 0$.

Per calcolare il nuovo valore di $\theta$ consideriamo che è possibile individuare un valore $\beta$ per il quale

$$S_t = - \sin \beta \, \left (S_{y}^{+} + S_{y}^{-} \right) + \cos \beta \, \left (S_{z}^{+} + S_{z}^{-} \right) = 0$$

da cui 

$$ \beta = \tan^{-1} \frac{S_{z}^{+} + S_{z}^{-}}{S_{y}^{+} + S_{y}^{-}}$$

Poiché $S_t \ne 0$, ci aspettiamo che $\beta \ne \alpha$. In tal caso nell'iterazione successiva assumiamo

$$\theta_{i+1} = \theta_{i} - (\beta - \alpha)$$

===== Sezione rettangolare =====

I moduli resistenti plastici sono dati da

$$W_{Pl,y} = \frac{b \, h^2}{4}$$

$$W_{Pl,z} = \frac{b^2 \, h}{4}$$

===== Sezione tubolare =====

Il modulo resistente plastico è dato da

$$W_{Pl,y} = W_{Pl,z} = \frac{4}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$

che nel caso di sezione sottile si semplifica in

$$W_{Pl,y} = W_{Pl,z} = 4 t \, R^2$$

===== Sezione ad I =====

$$W_{pl,y} = 2 \left\{ b \, t_f \left( \frac{h - t_f}{2} \right) + \frac{t_w}{2} \left( \frac{h}{2} - t_f \right)^2 + 2 \left[ r^2 \left( \frac{h}{2} - t_f - \frac{r}{2} \right) - \frac{r^3}{3} - \frac{\pi \, r^2}{4} \left( \frac{h}{2} - t_f - r \right) \right] \right\}$$

in cui:
  * $b \, t_f \left( \frac{h - t_f}{2} \right) = b \, t_f \left( \frac{h}{2} - \frac{t_f}{2}\right)$ è il momento statico dell'ala
  * $\frac{t_w}{2} \left( \frac{h}{2} - t_f \right)^2 = t_w \left( \frac{h}{2} - t_f \right) \frac{1}{2} \left( \frac{h}{2} - t_f \right) $ è il momento statico di metà anima
  * $r^2 \left( \frac{h}{2} - t_f - \frac{r}{2} \right)  - \left[ \frac{r^3}{3} + \frac{\pi \, r^2}{4} \left( \frac{h}{2} - t_f - r \right) \right]$ è il momento statico di uno dei raccordi, ottenuto come differenza tra il momento statico di un quadrato e quello di un settore circolare

$$W_{pl,z} = 2 \, \left\{ t_f \frac{b^2}{4} + \left( h - 2 \, t_f \right) \frac{t_w^2}{8} + 2 \left[ r^2 \frac{t_w + r}{2} + \frac{r^3}{3} - \frac{\pi \, r^2}{4} \left( \frac{t_w}{2} + r \right)  \right] \right\} $$

in cui:
  * $t_f \frac{b^2}{4} = 2 \, \left( t_f \frac{b}{2} \frac{b}{4}\right)$ è il momento statico delle due semi ali superiori
  * $\left( h - 2 \, t_f \right) \frac{t_w^2}{8} = \left( h - 2 \, t_f \right) \frac{t_w}{2} \frac{t_w}{4}$ è il momento statico di metà anima
  * $r^2 \frac{t_w + r}{2} + \frac{r^3}{3} - \frac{\pi \, r^2}{4} \left( \frac{t_w}{2} + r \right) = r^2 \left( \frac{t_w}{2} + \frac{r}{2} \right) - \left[ - \frac{r^3}{3} + \frac{\pi \, r^2}{4} \left( \frac{t_w}{2} + r \right) \right]$ è il momento statico di uno dei raccordi, ottenuto come differenza tra il momento statico di un quadrato e quello di un settore circolare