====== Modulo elastico di resistenza flessionale ======

===== Caso generale =====

Vogliamo calcolare il modulo di resistenza a flessione di una sezione rispetto ad una direzione individuata dal versore $\boldsymbol{n}$ di coordinate $(n_y,n_z)$ sotto l'ipotesi di legge costitutiva elastico-lineare. 

Conosciamo le coordinate del baricentro $(y_G, z_G)$ e la corrispondente direzione centrale di inerzia $\theta_{G,\eta}$. Chiamiamo $\boldsymbol{\eta}$ ed $\boldsymbol{\zeta}$ i versori che individuano le direzioni centrali di inerzia

$$\boldsymbol{\eta} = \left( \begin{matrix} \cos \theta_{G,\eta} \\\\ \sin \theta_{G,\eta} \end{matrix} \right)$$

$$\boldsymbol{\zeta} = \left( \begin{matrix} -\sin \theta_{G,\eta} \\\\ \cos \theta_{G,\eta} \end{matrix} \right)$$

Sottoponiamo la sezione ad un momento unitario di vettore $\boldsymbol{n}$. Sulla scorta delle ipotesi di cui sopra, scomponiamo detto momento unitario lungo le due direzioni centrali di inerzia, ottenendo

$$M_{\eta} = \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\eta} = n_y \, \cos \theta_{G,\eta} + n_z \, \sin \theta_{G,\eta}$$
$$M_{\zeta} = \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\zeta} = - n_y \, \sin \theta_{G,\eta} + n_z \, \cos \theta_{G,\eta}$$

Dalla teoria di De Saint Venant sappiamo che le tensioni nella sezione sono date da

$$\sigma_{z} = \frac{M_{\eta}}{I_{\eta \eta}} \zeta - \frac{M_{\zeta}}{I_{\zeta \zeta}} \eta$$

in cui

  * $\eta = \cos \theta_{G,\eta} \, (y - y_G) + \sin \theta_{G,\eta} \, (z - z_G)$
  * $\zeta = - \sin \theta_{G,\eta} \, (y - y_G) + \cos \theta_{G,\eta} \, (z - z_G)$
  * $I_{\eta \eta}$ e $I_{\zeta \zeta}$ sono i momenti centrali di inerzia

Supponendo la nostra sezione delimitata da $n$ punti di coordinate $(y_i, z_i)$, troviamo

$$\left| \sigma_{z}\right|_{max} = \max \limits_{i=1}^{n} \left| \frac{M_{\eta}}{I_{\eta \eta}} \left( - \sin \theta_{G,\eta} \, (y_i - y_G) + \cos \theta_{G,\eta} \, (z_i - z_G) \right) - \frac{M_{\zeta}}{I_{\zeta \zeta}} \left(\cos \theta_{G,\eta} \, (y_i - y_G) + \sin \theta_{G,\eta} \, (z_i - z_G)\right) \right|$$

Il modulo di resistenza flessionale della nostra sezione sarà pari a

$$W_{el,n} = \frac{1}{\left| \sigma_{z}\right|_{max}}$$

===== Sezione rettangolare =====

$$W_{y} = \frac{2 \, I_{yy}}{h} = \frac{b \, h^2}{6}$$

$$W_{z} = \frac{2 \, I_{zz}}{b} = \frac{b^2 \, h}{6}$$

===== Sezione tubolare =====

$$W_{y} = W_{z} = \frac{I_{yy}}{R_e} = \frac{\pi}{4 R_e} \left( R_e^4 - R_i^4 \right)$$

===== Sezione ad I =====

Si consdieri una sezione ad I definita dai seguenti parametri geometrici:
  * $h$ altezza della sezione
  * $b$ base della sezione
  * $t_w$ spessore dell'anima
  * $t_f$ spessore delle ali
  * $r$ raggio di raccordo ali-anima

I momenti di inerzia della sezione sono dati da

$$I_{yy} = 2 \left[ \frac{b \, t_f^3}{12} + b \, t_f \left( \frac{h - t_f}{2} \right)^2 \right] + \frac{t_w \, \left( h - 2 t_f \right)^3}{12} + 4 \left\{ \left[ \frac{r^4}{12} + r^2 \left( \frac{h}{2} - t_f - \frac{r}{2}\right)^2 \right] - \left[ \frac{\pi}{16} r^4 + \frac{2}{3} \left( \frac{h}{2} - t_f - r \right) r^3 + \frac{\pi}{4} r^2 \left( \frac{h}{2} - t_f - r \right)^2 \right] \right\}$$

$$I_{zz} = \frac{t_f \, b^3}{6} + \frac{t_w^3 \, \left( h - 2 t_f \right)}{12} + 4 \left\{ \left[ \frac{r^4}{12} + r^2 \left( \frac{t_w + r}{2} \right)^2 \right] - \left[ \frac{\pi}{16} r^4 - \frac{2}{3} \left( \frac{t_w}{2} + r \right) r^3 + \frac{\pi}{4} r^2 \left( \frac{t_w}{2} + r \right)^2 \right] \right\}$$

Di conseguenza i momenti elastici flessionali saranno pari a

$$W_{el,y} = \frac{2 \, I_{yy}}{h}$$

$$W_{el,z} = \frac{2 \, I_{zz}}{b} $$