====== Integrali notevoli con traslazione del sistema di riferimento ======

===== Momenti statici =====

Le formule per il calcolo dei momenti statici nel caso di traslazione del sistema di riferimento del vettore $(y_0, z_0)$ sono

$$S_z^{\nearrow} = S_z - A \cdot y_0$$

$$S_y^{\nearrow} = S_y - A \cdot z_0$$

Per il calcolo analitico vedi la pagina del wiki sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|geometria delle aree]].

===== Momenti di inerzia =====

Le formule per il calcolo dei momenti di inerzia nel caso di traslazione del sistema di riferimento di $(y_0, z_0)$ sono

$$I_{zz}^\nearrow =
I_{zz} - 2 \, y_0  \, S_{z} + A \, y_0^2$$

$$I_{yy}^\nearrow =
I_{yy} - 2 \, z_0  \, S_{y} + A \, z_0^2$$

$$I_{yz}^\nearrow =
I_{yz} - y_0  \, S_{y} - z_0  \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$

Per maggiori dettagli su come si determinano tali formule si rimanda alla sezione del wiki sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|geometria delle aree]].

===== Momenti di terzo ordine =====

Le formule che ci permettono di calcolare i momenti di terzo ordine nel caso di traslazione del sistema di riferimento di $(y_0, z_0)$ sono

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 
\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 y_0 \, I_{zz} + 3 y_0^2 \, S_{z} - y_0^3 \, A $$

$$\iint \limits_{S} z_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 
\iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 z_0 \, I_{yy} + 3 z_0^2 \, S_{y} - z_0^3 \, A$$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^2 \, z_{\nearrow} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 
\iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 y_0 \, I_{yz} - z_0 \, I_{zz} + y_0^2 \, S_y + 2 y_0 \, z_0 S_{z} - y_0^2 \, z_0 A $$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow} \, z_{\nearrow}^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
\iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 z_0 I_{yz} - y_0 \, I_{yy} + z_0^2 \, S_z + 2 y_0 \, z_0 \, S_y - y_0 \, z_0^2 \, A $$

Si riporta di seguito il dettaglio dei calcoli

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right)^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} \left( y^3 - 3 y_0 \, y^2 + 3 y_0^2 \, y - y_0^3 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 y_0 \, I_{zz} + 3 y_0^2 \, S_{z} - y_0^3 \, A $$

$$\iint \limits_{S} z_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( z - z_0 \right)^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} \left( z^3 - 3 z_0 \, z^2 + 3 z_0^2 \, z - z_0^3 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 z_0 \, I_{yy} + 3 z_0^2 \, S_{y} - z_0^3 \, A$$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^2 \, z_{\nearrow} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right)^2 \, \left( z - z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} \left( y^2 - 2 y_0 \, y + y_0^2 \right) \, \left( z - z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y^2 \, z - 2 y_0 \, y \, z + y_0^2 \, z - z_0 \, y^2 + 2 y_0 \, z_0 \, y - y_0^2 \, z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 y_0 \, I_{yz} - z_0 \, I_{zz} + y_0^2 \, S_y + 2 y_0 \, z_0 S_{z} - y_0^2 \, z_0 A $$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow} \, z_{\nearrow}^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right) \, \left( z - z_0 \right)^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
\iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right) \, \left( z^2 - 2 z_0 \, z + z_0^2 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \iint \limits_{S} \left( y \, z^2 - 2 z_0 \, y \, z + z_0^2 \, y - y_0 \, z^2 + 2 y_0 \, z_0 \, z - y_0 \, z_0^2 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ 
\iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 z_0 I_{yz} - y_0 \, I_{yy} + z_0^2 \, S_z + 2 y_0 \, z_0 \, S_y - y_0 \, z_0^2 \, A $$