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qstruct:teoria:qfem:fem:condizioni_al_contorno

Condizioni al contorno

Una volta calcolata la matrice di rigidezza del sistema, passiamo ad imporre le condizioni al contorno.

Su ciascuno dei vertici della struttura possono essere imposte condizioni al contorno di tipo statico $f_{G,i} = \bar{f}_{G,i}$ o $\eta_{G,i} = \bar{\eta}_{G,i}$. Lo stesso grado di libertà di un vertice potrà avere imposta solo una delle due condizioni al contorno.

Sostituiamo tali valori nella matrice di rigidezza globale della struttura. Se $f_{G,i}$ è noto, l'incognita sarà $\eta_{G,i}$; viceversa se è noto $\eta_{G,i}$, l'incognita è $f_{G,i}$.

Supponiamo ad esempio che la condizioni al contorno cinematica riguarda il grado di libertà $\eta_{G,i}$, mentre per gli altri gradi di libertà abbiamo solo condizioni al contorno statiche.

$$ \begin{Bmatrix} \bar{f}_{1} \\\\ \vdots \\\\ f_{i} \\\\ \vdots \\\\ \bar{f}_{n} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{G,1,1} & \dots & k_{G,1,i} & \dots & k_{G,1,n} \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ k_{G,i,1} & \dots & k_{G,i,i} & \dots & k_{G,i,n} \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ k_{G,n,1} & \dots & k_{G,n,i} & \dots & k_{G,n,n} \\\\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_{1} \\\\ \vdots \\\\ \bar{\eta}_{i} \\\\ \vdots \\\\ \eta_{n} \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} f_{G,0,1} \\\\ \vdots \\\\ f_{G,0,i} \\\\ \vdots \\\\ f_{G,0,n} \\\\ \end{Bmatrix} $$

Per nostra comodità computazionale, riscriviamo la matrice nella forma

$$ \begin{bmatrix} k_{G,1,1} & \dots & 0 & \dots & k_{G,1,n} \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ k_{G,n,1} & \dots & 0 & \dots & k_{G,n,n} \\\\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_{1} \\\\ \vdots \\\\ \eta_{i} \\\\ \vdots \\\\ \eta_{n} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \bar{f}_{1} - k_{1,i} \bar{\eta}_i \\\\ \vdots \\\\ \bar{\eta}_i \\\\ \vdots \\\\ \bar{f}_{n} - k_{n,i} \bar{\eta}_i \end{Bmatrix} - \begin{Bmatrix} f_{G,0,1} \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ f_{G,0,n} \\\\ \end{Bmatrix}$$

In questo modo la matrice $\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}$, pur con le modifiche introdotte, rimane simmetrica,


qstruct/teoria/qfem/fem/condizioni_al_contorno.txt · Ultima modifica: 2013/02/08 10:46 da mickele

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