====== Trave di Timoshenko ======

===== Matrice di rigidezza locale =====

Supponiamo invece, pur nell'ipotesi di conservazione delle sezioni piani, di consdierare l'influenza del taglio sulla linea elastica.

Per comodità di notazione introduciamo le posizioni

$$ \frac{\chi}{G \, A} = \frac{\Phi \, l^2}{12 \, E \, J} \Longrightarrow \Phi = 12 \frac{\chi}{G \, A} \frac{E \, J}{l^2}  $$

I coefficienti della matrice sono tutti nulli tranne

$$k_{l,1,1} = \frac{E \, A}{l}$$
$$k_{l,1,4} = k_{l,4,1} = -\frac{E \, A}{l} $$

$$k_{l,2,2} = \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)}$$
$$k_{l,2,3} = k_{l,3,2} = - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$
$$k_{l,2,5} = k_{l,5,2} = - \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)}$$
$$k_{l,2,6} = k_{l,6,2} = - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$

$$k_{l,3,3} = \frac{(4 + \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)}$$
$$k_{l,3,5} = k_{l,5,3} = \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$
$$k_{l,3,6} = k_{l,6,3} = \frac{(2 - \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} $$

$$k_{l,4,4} = \frac{E \, A}{l} $$

$$k_{l,5,5} = \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)}$$
$$k_{l,5,6} = k_{l,6,5} = \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$

$$k_{l,6,6} = \frac{(4 + \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)}$$

La matrice di rigidezza locale dell'elemento trave è uguale a

$$\mathbf{K_l} = 
\begin{bmatrix}
\frac{E \, A}{l} & 0 & 0 & -\frac{E \, A}{l} & 0 & 0 \\\\
0 & \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & 0 & - \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} \\\\
0 & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(4+ \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} & 0 & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(2 - \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} \\\\
- \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 & \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 \\\\
0 & - \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & 0 & \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} \\\\
0 & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(2-\Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} & 0 & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(4+\Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} \\\\
\end{bmatrix}$$

===== Vettore dei termini noti =====

Il procedimento è lo stesso già visto per la trave di Eulero-Bernoulli, l'unica differenza è nel vettore degli spostamenti spostamenti nodali che è dato da

$$
\boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)} =
\left(
\begin{matrix}
0\\\\
0\\\\
\theta_1^{(a)}\\\\
u_2^{(a)}\\\\
0\\\\
\theta_2^{(a)}
\end{matrix}
\right)$$

in cui

$$\theta_1^{(a)} = - \frac{l^3}{E J} \left( \frac{v_1}{24} + \frac{7}{360} \Delta v\right) - \frac{1}{EJ} \frac{\Delta m \, l^2}{24}$$

$$u_2^{(a)} = \frac{l^2}{EA} \left( \frac{n_1}{2} + \frac{\Delta n}{3} \right)$$

$$\theta_2^{(a)} = \frac{l^3}{E J} \left( \frac{v_1}{24} + \frac{\Delta v}{35} \right) + \frac{1}{EJ} \frac{\Delta m \, l^2}{24}$$

Il vettore dei termini noti è dato allora da

$$ \boldsymbol{f}_{l,0} = \boldsymbol{f}_{l}^{(a)} + \boldsymbol{f}_{l}^{(b)} = \boldsymbol{f}_{l}^{(a)} - \boldsymbol{K}_l \cdot \boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)}$$

===== Calcolo degli spostamenti =====

Gli spostamenti sono dati da

$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2  + C_5 \, x \right) + C_6$$

$$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$

$$\theta(x) =  - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] +  \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$

in cui 

$$C_1 
  = \frac{l  \left( \frac{3}{20} \Delta q + \frac{q_1}{2} \right) + \frac{\Delta m}{2}}{J E} 
      + \frac{E J 
   (l^2 \chi \Delta q 
  + 30 l  (G A  (\eta_3 + \eta_6) - \chi  (2 m_1 + \Delta m)) 
  + 60 G A  (\eta_5 - \eta_2))}{5 (l^3 J E A G + 12 l J^2 E^2 \chi)}$$

$$C_2 
  = \frac{4 l \Delta m - l^2 (\Delta q + 2 q_1)}{24 J E} 
      + \frac{\eta_6 - \eta_3 
  + \frac{3 E J 
   (2 l G A  (\eta_2 - \eta_5) 
  + l^2 (2 \chi m_1 - G A  (\eta_6 + \eta_3))) 
  + G A 
       \left( \frac{l^5 \Delta q}{120} 
  - \frac{l^4 \Delta m}{4} \right)}{l^2 E J A G + 12 E^2 J^2 \chi}}{l}$$

$$C_3 
  = \frac{\chi l}{G A}  \left( \frac{3}{20} \Delta q + \frac{q_1}{2} \right) - \eta_3 
      + \frac{\frac{10}{4} \chi G A 
   (l^3 (\Delta m + 2 m_1) 
  + 12 E J  (l  (\eta_6 + \eta_3) + 2 (\eta_5 - \eta_2))) 
  + l^2 \chi^2 E J \Delta q}{5 l  (l^2 A^2 G^2 + 12 A G J E \chi)}$$

$$C_4 = \eta_2$$

$$C_5 
  = l  \left( \frac{p_1}{2} + \frac{\Delta p}{6} \right) 
      + \frac{E A}{l}  (\eta_4 - \eta_1)$$

$$C_6 = \eta_1$$