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qstruct:teoria:qfem:beam_2d:timoshenko

Trave di Timoshenko

Matrice di rigidezza locale

Supponiamo invece, pur nell'ipotesi di conservazione delle sezioni piani, di consdierare l'influenza del taglio sulla linea elastica.

Per comodità di notazione introduciamo le posizioni

$$ \frac{\chi}{G \, A} = \frac{\Phi \, l^2}{12 \, E \, J} \Longrightarrow \Phi = 12 \frac{\chi}{G \, A} \frac{E \, J}{l^2} $$

I coefficienti della matrice sono tutti nulli tranne

$$k_{l,1,1} = \frac{E \, A}{l}$$ $$k_{l,1,4} = k_{l,4,1} = -\frac{E \, A}{l} $$

$$k_{l,2,2} = \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)}$$ $$k_{l,2,3} = k_{l,3,2} = - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$ $$k_{l,2,5} = k_{l,5,2} = - \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)}$$ $$k_{l,2,6} = k_{l,6,2} = - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$

$$k_{l,3,3} = \frac{(4 + \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)}$$ $$k_{l,3,5} = k_{l,5,3} = \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$ $$k_{l,3,6} = k_{l,6,3} = \frac{(2 - \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} $$

$$k_{l,4,4} = \frac{E \, A}{l} $$

$$k_{l,5,5} = \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)}$$ $$k_{l,5,6} = k_{l,6,5} = \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} $$

$$k_{l,6,6} = \frac{(4 + \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)}$$

La matrice di rigidezza locale dell'elemento trave è uguale a

$$\mathbf{K_l} = \begin{bmatrix} \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 & -\frac{E \, A}{l} & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & 0 & - \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} \\\\ 0 & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(4+ \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} & 0 & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(2 - \Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} \\\\ - \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 & \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 \\\\ 0 & - \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & 0 & \frac{12 E \, J}{l^3 (1+\Phi)} & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} \\\\ 0 & - \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(2-\Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} & 0 & \frac{6 E \, J}{l^2 (1+\Phi)} & \frac{(4+\Phi) E \, J}{l (1+\Phi)} \\\\ \end{bmatrix}$$

Vettore dei termini noti

Il procedimento è lo stesso già visto per la trave di Eulero-Bernoulli, l'unica differenza è nel vettore degli spostamenti spostamenti nodali che è dato da

$$ \boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)} = \left( \begin{matrix} 0\\\\ 0\\\\ \theta_1^{(a)}\\\\ u_2^{(a)}\\\\ 0\\\\ \theta_2^{(a)} \end{matrix} \right)$$

in cui

$$\theta_1^{(a)} = - \frac{l^3}{E J} \left( \frac{v_1}{24} + \frac{7}{360} \Delta v\right) - \frac{1}{EJ} \frac{\Delta m \, l^2}{24}$$

$$u_2^{(a)} = \frac{l^2}{EA} \left( \frac{n_1}{2} + \frac{\Delta n}{3} \right)$$

$$\theta_2^{(a)} = \frac{l^3}{E J} \left( \frac{v_1}{24} + \frac{\Delta v}{35} \right) + \frac{1}{EJ} \frac{\Delta m \, l^2}{24}$$

Il vettore dei termini noti è dato allora da

$$ \boldsymbol{f}_{l,0} = \boldsymbol{f}_{l}^{(a)} + \boldsymbol{f}_{l}^{(b)} = \boldsymbol{f}_{l}^{(a)} - \boldsymbol{K}_l \cdot \boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)}$$

Calcolo degli spostamenti

Gli spostamenti sono dati da

$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2 + C_5 \, x \right) + C_6$$

$$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$

$$\theta(x) = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] + \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$

in cui

$$C_1 = \frac{l \left( \frac{3}{20} \Delta q + \frac{q_1}{2} \right) + \frac{\Delta m}{2}}{J E} + \frac{E J (l^2 \chi \Delta q + 30 l (G A (\eta_3 + \eta_6) - \chi (2 m_1 + \Delta m)) + 60 G A (\eta_5 - \eta_2))}{5 (l^3 J E A G + 12 l J^2 E^2 \chi)}$$

$$C_2 = \frac{4 l \Delta m - l^2 (\Delta q + 2 q_1)}{24 J E} + \frac{\eta_6 - \eta_3 + \frac{3 E J (2 l G A (\eta_2 - \eta_5) + l^2 (2 \chi m_1 - G A (\eta_6 + \eta_3))) + G A \left( \frac{l^5 \Delta q}{120} - \frac{l^4 \Delta m}{4} \right)}{l^2 E J A G + 12 E^2 J^2 \chi}}{l}$$

$$C_3 = \frac{\chi l}{G A} \left( \frac{3}{20} \Delta q + \frac{q_1}{2} \right) - \eta_3 + \frac{\frac{10}{4} \chi G A (l^3 (\Delta m + 2 m_1) + 12 E J (l (\eta_6 + \eta_3) + 2 (\eta_5 - \eta_2))) + l^2 \chi^2 E J \Delta q}{5 l (l^2 A^2 G^2 + 12 A G J E \chi)}$$

$$C_4 = \eta_2$$

$$C_5 = l \left( \frac{p_1}{2} + \frac{\Delta p}{6} \right) + \frac{E A}{l} (\eta_4 - \eta_1)$$

$$C_6 = \eta_1$$


qstruct/teoria/qfem/beam_2d/timoshenko.txt · Ultima modifica: 2013/02/06 09:19 da mickele

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