====== Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione ======


$H_1$, $V_1$ e $M_1$ sono i carichi nodali agenti sul nodo 1.

Sulla trave agiscono inoltre:
  * il carico distribuito assiale $p(x) = p_1 + \frac{\Delta p}{l} x$
  * il carico distribuito trasversale $q(x) = q_1 + \frac{\Delta q}{l}  x$
  * il momento flettente distribuito $m(x) = m_1 + \frac{\Delta m}{l} x$

Per l'equilibrio alla rotazione abbiamo

$$M(x) + V_1 \, x + \int \limits_0^x q\left( s \right) \left( x - s \right) \, \mathrm{d}s + M_1 + \int \limits_0^x m \left( s \right) \, \mathrm{d}s = 0 $$

da cui

$$M(x) = - V_1 \, x - \int \limits_0^x q\left( s \right) \left( x - s \right) \, \mathrm{d}s - M_1 - \int \limits_0^x m \left( s \right) \, \mathrm{d}s$$

Effettuiamo il cambio di variabile $s = \xi \, l$, e supponiamo un andamento lineare dei carichi distribuiti $q(\xi) = q_1 + \Delta q \, \xi$  e  $m(\xi) = m_1 + \Delta m \, \xi$

$$M(x) = - V_1 \, x - \int \limits_0^{x/l} \left( q_1 + \Delta q \, \xi \right) \left( x - l \, \xi \right) \, l\, \mathrm{d}\xi - M_1 - \int \limits_0^{x/l} \left( m_1 + \Delta m \, \xi \right) \, l \, \mathrm{d}\xi $$

$$ M(x) = - V_1 \, x - \left. \left[ l \, q_1 \, x \, \xi + \left( \Delta q \, x - v_1 \, l \right) l \frac{\xi^2}{2} - l^2 \, \Delta v \frac{\xi^3}{3} \right] \right|_0^{x/l} - M_1 - \left. \left( m_1 \, l \, \xi + \Delta m \, l \, \frac{\xi^2}{2} \right) \right|_0^{x/l} $$

e infine

$$ M(x) = - V_1 \, x - \left( q_1 \frac{x^2}{2} + \Delta q \frac{x^3}{6 l} \right) - M_1 - \left( m_1 \, x + \Delta m \, \frac{x^2}{2 l} \right) $$

Per l'equilibrio alla traslazione verticale abbiamo

$$T(x) + V_1 + \int \limits_0^x q\left( s \right) \, \mathrm{d}s = 0 $$

da cui, ripetendo quanto già visto sopra,

$$T(x) = - V_1 - \int \limits_0^{x/l} \left( q_1 + \Delta q \, \xi \right) l \, \mathrm{d}\xi $$

$$T(x) = - V_1 - \left. \left( q_1 \, l \, \xi + \Delta q \, l \, \frac{\xi^2}{2} \right) \right|_0^{x/l} $$

e infine

$$T(x) = - V_1 - \left( q_1 \, x + \Delta q \, \frac{x^2}{2 l} \right)$$

Per l'equilibrio alla traslazione orizzontale abbiamo

$$N(x) + H_1 + \int \limits_0^x p \left( s \right) \, \mathrm{d}s = 0 $$

da cui

$$N(x) = - H_1 - \int \limits_0^{x/l} \left( p_1 + \Delta p \, s \right) l \, \mathrm{d}s $$

$$N(x) = - H_1 - \left. \left( p_1 \, l \, \xi + \Delta p \, l \, \frac{\xi^2}{2} \right) \right|_0^{x/l} $$

e infine

$$N(x) = - H_1 - \left( p_1 \, x + \Delta p \, \frac{x^2}{2 l} \right)$$