Sotto le ipotesi di comportamento elastico lineare, e trascurando l'influenza dello spostamento sulla linea elastica, i coefficienti della matrice di rigidezza locale sono tutti nulli tranne

$$k_{l,1,1} = \frac{E \, A}{l} $$ $$k_{l,1,4} = k_{l,4,1} = -\frac{E \, A}{l} $$

$$k_{l,2,2} = \frac{12 E \, J}{l^3}$$ $$k_{l,2,3} = k_{l,3,2} = - \frac{6 E \, J}{l^2} $$ $$k_{l,2,5} = k_{l,5,2} = - \frac{12 E \, J}{l^3}$$ $$k_{l,2,6} = k_{l,6,2} = - \frac{6 E \, J}{l^2} $$

$$k_{l,3,3} = \frac{4 \, E \, J}{l}$$ $$k_{l,3,5} = k_{l,5,3} = \frac{6 E \, J}{l^2} $$ $$k_{l,3,6} = k_{l,6,3} = \frac{2 \, E \, J}{l} $$

$$k_{l,4,4} = \frac{E \, A}{l} $$

$$k_{l,5,5} = \frac{12 E \, J}{l^3}$$ $$k_{l,5,6} = k_{l,6,5} = \frac{6 E \, J}{l^2} $$

$$k_{l,6,6} = \frac{4 \, E \, J}{l}$$

La matrice di rigidezza locale è allora uguale a

$$\mathbf{K_l} = \begin{bmatrix} \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 & -\frac{E \, A}{l} & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{12 E \, J}{l^3} & - \frac{6 E \, J}{l^2} & 0 & - \frac{12 E \, J}{l^3} & - \frac{6 E \, J}{l^2} \\\\ 0 & - \frac{6 E \, J}{l^2} & \frac{4 \, E \, J}{l} & 0 & \frac{6 E \, J}{l^2} & \frac{2 \, E \, J}{l} \\\\ - \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 & \frac{E \, A}{l} & 0 & 0 \\\\ 0 & - \frac{12 E \, J}{l^3} & \frac{6 E \, J}{l^2} & 0 & \frac{12 E \, J}{l^3} & \frac{6 E \, J}{l^2} \\\\ 0 & - \frac{6 E \, J}{l^2} & \frac{2 \, E \, J}{l} & 0 & \frac{6 E \, J}{l^2} & \frac{4 \, E \, J}{l} \\\\ \end{bmatrix}$$

Il vettore dei termini noti è sostanzialmente il vettore delle reazioni vincolari per una trave incastrata soggetta alle azioni infranodali applicate all'elemento.

Per calcolare tali reazioni, consideriamo una trave semplicemente appoggiata soggetta alle stesse azioni infranodali. Le reazioni vincolari sono

$$\boldsymbol{f}_l^{(a)} = \left( \begin{matrix} N_1^{(a)} \\\\ V_1^{(a)} \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ V_2^{(a)} \\\\ 0 \end{matrix} \right)$$

in cui

$$N_1^{(a)} = - l \left( p_1 + \frac{\Delta p}{2} \right)$$

$$V_1^{(a)} = - l \left( \frac{q_1}{2} + \frac{\Delta q}{6} \right) - m_1 - \frac{\Delta m}{2}$$

$$V_2^{(a)} = - l \left( \frac{q_1}{2} + \frac{\Delta q}{3} \right) + m_1 + \frac{\Delta m}{2}$$

Le caratteristiche di sollecitazione sono

$$N(x)^{(a)} = l \left( p_1 + \frac{\Delta p}{2} \right) - n_1 \, x - \frac{\Delta p}{2} \frac{x^2}{l} $$

$$T(x)^{(a)} = \frac{l q_1}{2} + \frac{l \Delta q }{6} + m_1 + \frac{\Delta m}{2} - q_1 \, x - \frac{\Delta q \, x^2}{2 l}$$

$$M(x)^{(a)} = \left( \frac{q_1 \, l}{2} + \frac{\Delta q \, l}{6} + \frac{\Delta m}{2} \right) x - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} - \frac{\Delta q}{6 l} x^3$$

Infine gli spostamenti spostamenti nodali sono

$$ \boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)} = \left( \begin{matrix} 0\\\\ 0\\\\ \theta_1^{(a)}\\\\ u_2^{(a)}\\\\ 0\\\\ \theta_2^{(a)} \end{matrix} \right)$$

in cui

$$\theta_1^{(a)} = - \frac{l^3}{E J} \left( \frac{q_1}{24} + \frac{7}{360} \Delta q\right) - \frac{1}{EJ} \frac{\Delta m \, l^2}{24} + \frac{\chi}{G A} \left( m_1 + \frac{\Delta m}{2} \right)$$

$$u_2^{(a)} = \frac{l^2}{E A} \left( \frac{p_1}{2} + \frac{\Delta p}{3} \right)$$

$$\theta_2^{(a)} = \frac{l^3}{E J} \left( \frac{q_1}{24} + \frac{\Delta q}{35} \right) + \frac{1}{EJ} \frac{\Delta m \, l^2}{24} + \frac{\chi}{G A} \left( m_1 + \frac{\Delta m}{2} \right)$$

Per ricondurre la trave del sistema $(a)$ ad una trave doppiamente incastrata, le sovrapponiamo un sistema $(b)$ costituito da una trave con spostamenti nodali opposti a quelli del sistema $(a)$

$$\boldsymbol{\eta}_{l}^{(b)} = - \boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)}$$

Le corrispondenti reazioni vincolari saranno date dal prodotto

$$ \boldsymbol{f}_{l}^{(b)} = \boldsymbol{K}_l \cdot \boldsymbol{\eta}_{l}^{(b)} $$

Il vettore dei termini noti sarà allora uguale alla somma delle forze nodali agenti nei sistemi $(a)$ e $(b)$

$$ \boldsymbol{f}_{l,0} = \boldsymbol{f}_{l}^{(a)} + \boldsymbol{f}_{l}^{(b)} = \boldsymbol{f}_{l}^{(a)} - \boldsymbol{K}_l \cdot \boldsymbol{\eta}_{l}^{(a)}$$