====== Intersezione tra un segmento ed un rettangolo ======

===== Equazione parametrica del segmento =====

$$\mathbf{P} = \mathbf{P}_1 + \left( \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1 \right) \; t = \mathbf{P}_1 + \mathbf{v} \; t $$

in cui

$$0 \le t \le 1 $$

Riferendosi alle singole coordinate

$$x = x_1 + \left( x_2 - x_1 \right) \; t$$

$$y = y_1 + \left( y_2 - y_1 \right) \; t$$

===== Appartenenza di un punto al segmento =====

Il metodo proposto nel prossimo paragrafo per valutare l'intersezione segmento-rettangolo, prende spunto dalla condizione di appartenenza di un punto P, di coordinate $\left( x_P, y_P \right)$, ad un segmento espresso in forma parametrica così come visto in precedenza.

Il punto P appartiene al segmento se e solo se esiste un valore $t_P$ per cui 

$$x_P = x_1 + \left( x_2 - x_1 \right) \; t_P$$

$$y_P = y_1 + \left( y_2 - y_1 \right) \; t_P$$

con la condizione 

$$0 \le t_{P} \le 1 $$

Possiamo interpretare tale verifica anche nel seguente modo. Posto $t_{P,x}$

$$t_{P,x} = \frac{x_P - x_1}{x_2 - x_1}$$

e  $t_{P,y}$

$$t_{P,y} = \frac{y_P - y_1}{y_2 - y_1}$$

Il punto P appartiene al segmento se

$$t_{P,x} = t_{P,y} = t_{P}$$