Intersezione tra un segmento ed un rettangolo
Equazione parametrica del segmento
$$\mathbf{P} = \mathbf{P}_1 + \left( \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1 \right) \; t = \mathbf{P}_1 + \mathbf{v} \; t $$
in cui
$$0 \le t \le 1 $$
Riferendosi alle singole coordinate
$$x = x_1 + \left( x_2 - x_1 \right) \; t$$
$$y = y_1 + \left( y_2 - y_1 \right) \; t$$
Appartenenza di un punto al segmento
Il metodo proposto nel prossimo paragrafo per valutare l'intersezione segmento-rettangolo, prende spunto dalla condizione di appartenenza di un punto P, di coordinate $\left( x_P, y_P \right)$, ad un segmento espresso in forma parametrica così come visto in precedenza.
Il punto P appartiene al segmento se e solo se esiste un valore $t_P$ per cui
$$x_P = x_1 + \left( x_2 - x_1 \right) \; t_P$$
$$y_P = y_1 + \left( y_2 - y_1 \right) \; t_P$$
con la condizione
$$0 \le t_{P} \le 1 $$
Possiamo interpretare tale verifica anche nel seguente modo. Posto $t_{P,x}$
$$t_{P,x} = \frac{x_P - x_1}{x_2 - x_1}$$
e $t_{P,y}$
$$t_{P,y} = \frac{y_P - y_1}{y_2 - y_1}$$
Il punto P appartiene al segmento se
$$t_{P,x} = t_{P,y} = t_{P}$$